从2D点计算单位球面上的3D坐标

Question

我有一个圆形的方形位图，我想计算该圆中所有像素的法线，就好像它是一个半径为1的球体：

球体/圆圈在位图中居中。

这个等式是什么？

Answer 1

不太了解人们如何编写3D内容，所以我只是给出纯数学并希望它有用。

半径为1的球体，以原点为中心，是满足以下条件的点集：

  

x ² + y ² + z ² = 1

我们想要球体上一个点的三维坐标，其中x和y是已知的。所以，只需解决z：

  

z =±sqrt（1 - x ² - y ² ）。

现在，让我们考虑一个从球体向外指向的单位向量。它是一个单位球体，所以我们可以使用从原点到（x，y，z）的向量，当然，它是＆lt; x，y，z＆gt ;.

现在我们想要一个与球体在（x，y，z）处相切的平面方程，但是这将使用它自己的x，y和z变量，所以我将使它与球体相切at（x ₀ ，y ₀ ，z ₀ ）。这很简单：

  

x ₀ x + y ₀ y + z ₀ z = 1

希望这有帮助。

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（OP）：

你的意思是：

const int R = 31, SZ = power_of_two(R*2);
std::vector<vec4_t> p;
for(int y=0; y<SZ; y++) {
    for(int x=0; x<SZ; x++) {
        const float rx = (float)(x-R)/R, ry = (float)(y-R)/R;
        if(rx*rx+ry*ry > 1) { // outside sphere
            p.push_back(vec4_t(0,0,0,0));
        } else {
            vec3_t normal(rx,sqrt(1.-rx*rx-ry*ry),ry);
            p.push_back(vec4_t(normal,1));
        }
    }
}

如果我将法线视为颜色并将其视为blit，它确实会形成一个漂亮的球形着色阴影;是不是？

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（TZ）

抱歉，我不熟悉C ++的这些方面。最近没有使用过这门语言。

Answer 2

显然，由于缺少维度，你只能将所有点都放在球体的一半或类似物上。过去，这很简单。

圆的中间有一个法线正好面向或向外，垂直于绘制圆的平面。

圆圈边缘的每个点都背对着中间，因此你可以计算出它的法线。

对于中间和边缘之间的任何点，你使用距离中间的距离，以及一些简单的触发（此刻我不能使用）。 lerp在某些点上大致准确，但不是你需要的，因为它是一条曲线。虽然简单的曲线，你知道开始和结束的值，所以搞清楚它们应该只采用一个简单的方程式。

Answer 3

我想我得到了你想要做的事情：为图像生成深度数据网格。有点像射线追踪球体。

在这种情况下，您需要Ray-Sphere Intersection测试：

http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/raytrace/rtinter1.htm

你的光线将是简单的垂直光线，基于你的U / V坐标（第二次，因为你的球体直径为2）。这将为您提供球体上的前向点。

从那里计算法线如下（point - origin，半径已经是1个单位）。

从上面的链接中删除：

你必须结合两个方程式：

• Ray：R（t）= R0 + t * Rd，t> 0，R0 = [X0，Y0，Z0]和Rd = [Xd，Yd，Zd]
• 球体：S =点集[xs，ys，zs]，其中（xs - xc）2 +（ys - yc）2 +（zs - zc）2 = Sr2

为此，计算你的光线（x *像素/宽度，y *像素/宽度，z：1），然后：

• A = Xd ^ 2 + Yd ^ 2 + Zd ^ 2
• B = 2 *（Xd *（X0-Xc）+ Yd *（Y0-Yc）+ Zd *（Z0-Zc））
• C =（X0-Xc）^ 2 +（Y0-Yc）^ 2 +（Z0-Zc）^ 2-Sr ^ 2

插入二次方程：

• t0，t1 =（ - B +（B ^ 2 - 4 * C）^ 1/2）/ 2

检查判别式（B ^ 2 - 4 * C），如果是实根，则交叉点为：

• Ri = [xi，yi，zi] = [x0 + xd * ti，y0 + yd * ti，z0 + zd * ti]

表面法线是：

• SN = [（xi - xc）/ Sr，（yi - yc）/ Sr，（zi - zc）/ Sr]

将其全部烧掉：

所以，既然我们正在讨论单位值，并且直接指向Z（没有x或y分量）的光线，我们可以大大简化这些方程式：

雷：

• X0 = 2 * pixelX /宽度
  Y0 = 2 *像素Y /高度
  Z0 = 0

• Xd = 0
  Yd = 0
  Zd = 1

球形：

• Xc = 1
  Yc = 1
  Zc = 1

因素：

• A = 1（单位光线）
• <击>乙
  = 2 *（0 + 0 +（0 - 1））
  = -2（无x / y分量）

• Ç
  =（X0-1）^ 2 +（Y0-1）^ 2 +（0-1）^ 2-1 =（X0-1）^ 2 +（Y0-1）^ 2

• 判别
  =（ - 2）^ 2 - 4 * 1 * C
  = 4 - 4 * C

从这里开始：

If discriminant < 0:
  Z = ?, Normal = ?
Else:
  t = (2 + (discriminant) ^ 1 / 2) / 2
If t < 0 (hopefully never or always the case)
  t = -t

然后：

• Z：t
• Nx：Xi - 1
  Ny：Yi - 1
  Nz：t - 1

再次煮沸：

直观地看起来像C（X^2 + Y^2）和平方根是这里最突出的数字。如果我对数学有更好的回忆（特别是对指数的变换），那么我敢打赌，我可以将其归结为Tom Zych给你的数学。由于我不能，我会把它留在上面。

Answer 4

此公式通常用于“假冒envmapping”效果。

double x = 2.0 * pixel_x / bitmap_size - 1.0;
double y = 2.0 * pixel_y / bitmap_size - 1.0;
double r2 = x*x + y*y;
if (r2 < 1)
{
    // Inside the circle
    double z = sqrt(1 - r2);
    .. here the normal is (x, y, z) ...
}