有向图中的循环

Question

想知道我们是否可以证明以下内容，或者是否已经证明我可以在哪里获得证明。

令v1，v2，v3 ... vn和t为有向图中的n + 1个顶点。 v1，v2，v3 ... vn形式有向无环图。 t连接到v1，v2，v3 ... vn的每个人。现在由于v1，v2，v3 ... v4以非循环方式连接，如果有一个循环，那么它将涉及t。我们能否证明所有长度超过3的循环总是涉及长度为3的循环。记住t连接到每个v1，v2 ... vn并且没有成对循环。

进一步解释问题。

假设顶点v1，v2，v3..vn的非循环有向图是v1-> v2-> v3-> ... vn。每个v都有一个t的边。假设存在周期t-> v1-> v2-> v3-> t。这样的循环似乎肯定涉及长度为3的循环，其中t-> v1-> v2-> t或t-> v2-> v3-> t。但是无法证明这一点。

由于

Answer 1

基本思想是最短周期的长度为3，因为（我假设）t通过一个且只有一个边连接到任何其他顶点，而其他顶点不形成没有t的周期。

所以一个循环至少有t和另外两个顶点。

与t形成循环的两个顶点之间的任何路径长度为3或更长。

对于这样一个循环，你可以在直接连接到彼此的路径上找到两个顶点（邻居），它们都连接到t，因此它们形成一个长度为3的循环。

想象一下v [a]和v [b]之间的路径作为车轮的一部分，路径上的顶点v [i]连接到t作为辐条......你总能找到一个较短的部分在v [a]和v [b]之间。

[直接图的补充]
设v [a]来自t，v [b]转到t，v [a]导致v [b]。 如果v [a]和v [b]之间的循环是长度3，则该陈述成立。 否则，在v [a]转到t（但不是v [b]）之后必须有一个顶点，或者v [b]来自t（但不是v [a]）之前的顶点，其周期至少为一个（只有两个方向可供选择：从t或t）。 以较短的周期重复，直到达到3的长度。

Answer 2

  

让我们按案例使用证明方法：

（因为很难输入符号，我扫描了手写页面，我附上这里供你参考。）

让我们考虑一个图G，顶点为v1，v2，v3 ...... vn。让Graph G成为非循环有向图。

如果k = 0， 显然，t-> vi-> vj-> t具有长度为3的子循环。

因此证明了。

希望有所帮助！

Answer 3

简单证明：

1. 假设t是包括va和vb以及其他节点的循环的一部分，其中存在边缘t - > va和vb - ＆gt;吨

2. 然后在va和vb之间的循环中有一系列节点[vc，vd，ve ...];

3. 获取set中的第一个节点--vc。有从t到vc的边缘，或从vc到t的边缘（如你所说）;

4A。如果边缘是从t到vc，则周期比涉及[t，va，vb]的周期短，因为我们可以直接从t跳到vc，绕过va;此外，如果这个新周期长度大于3，则可以从步骤1开始对新周期重复此过程。

4b中。否则，边缘从vc到t，并且存在一个长度为3 - t到va，va到vc，vc到t的周期。

因此，任何周期都可以减少到3。