在图中找到X成本最低的树

Question

我有带有N个节点的图和带有成本的边。 （图形可能是完整的，但也可以包含零边）。

我想在图表中找到K树（K

任何建议最佳方法是什么？

我试图将问题修改为只查找单个最小生成树，但没有成功。 谢谢你的提示！

修改

细节很少，这可能很重要。成本与跨越边缘无关。成本是建立这种优势的代价。一旦构建了边缘，您就可以无需任何成本地向前和向后遍历它。问题不在于“沿着所有节点”，问题在于“在所有节点之间创建网络”。对于之前的解释我很抱歉

故事 这是我听过并试图解决的故事。

有一个城市，没有电力连接。电气公司能够将K房屋与电力连接起来。其他房屋可以通过从已连接的房屋中拔下电缆来连接。但放弃这种电缆需要付出代价。目标是选择哪些K房屋将直接连接到发电厂，哪些房屋将通过单独的电缆连接，以确保最小的电缆成本和所有房屋覆盖：）

Answer 1

正如其他人所说，这是NP难。但是，如果您愿意接受良好的解决方案，则可以使用模拟退火。例如，旅行商问题是NP难的，但是使用模拟退火可以找到接近最优的解决方案，例如， http://www.codeproject.com/Articles/26758/Simulated-Annealing-Solving-the-Travelling-Salesma

Answer 2

假设您可以使用prim算法在O(V^2)中找到最小生成树。

对于每个顶点，找到以该顶点为根的最小生成树。

当您运行算法V次时，这将是O(V^3)。

按图表的总质量（顶点的权重之和）对它们进行排序。这是O(V^2 lg V)，由O(V^3)消耗，因此在订单复杂性方面基本上免费。

采用X最小的图形 - 这些图形的根源是直接连接到网格的“锚点”，因为它们通常可能具有最短路径。要确定它采用哪条路径，只需在每棵树的每个节点中按照root路径，然后连接最短的路径。 （这可以通过将所有路径排序到root并且首先仅使用最短路径来进一步优化。这将允许对下一次迭代进行优化。找到root的路径是O(V)。找到所有VX时间的路径是{{ 1}}。因为你会为每一个V做这个，所以你看O(V^2 * X)。这不仅仅是你最大的复杂性，但我认为这些的平均情况会很小，即使是最糟糕的情况很大）。

我无法证明这是最佳解决方案。事实上，我确信它不是。但是，当您考虑使用100,000个家庭的电网时，您无法考虑（在任何实际应用中）NP硬解决方案。这为O（V ^ 3 * X）提供了一个非常好的解决方案，我想这将给你一个非常接近最优的解决方案。

Answer 3

您正在描述基数约束path cover之类的内容。它出现在旅行推销员/车辆路线系列的问题中并且是NP-Hard。要创建算法，您应该问

1. 你是否只会在小图上运行它。
2. 您是否只会在具有精确算法的图表的特殊情况下运行它。
3. 你能用一种能够解决问题的启发式方法吗？

Answer 4

看看你的故事，我认为你所谓的路径可以是一棵树，这意味着我们不必担心汉密尔顿电路。

在http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm查看Prim算法的正确性证明，考虑采用最小生成树并删除最昂贵的X-1链路。我认为那里的证据表明结果与你的问题的最佳答案成本相同：唯一的区别是当你比较边缘时，你可能会发现新的边缘连接两个分离的组件，但在这种情况下，你可以通过删除边缘成本最多的边缘来保持分离组件的数量。

所以我认为你的问题的答案是采用最小的生成树并删除X-1最昂贵的链接。对于X = 1来说肯定是这种情况！

Answer 5

这是尝试解决这个问题......

对于X = 1，我可以使用每个节点的Prim算法计算最小生成树（MST）（此节点是唯一连接到网格的节点）并选择总成本最低的算法

对于X = 2，我在图表旁边创建了额外的节点（电厂节点）。我通过边缘以成本0连接随机节点（例如N0）。我现在确定我有一个电源插头正确（随机节点肯定会在树中的一个，因此整个树将被连接）。现在是迭代部分。我采用其他节点（例如N1）并再次与PP连接，成本优势为0。现在我计算MST。然后用N2，N3代替N1重复这个过程...... 所以我会测试每对[N0，NX]。成本最低的MST获胜。

对于X＆gt; 2它与X = 2真的相同，但我必须测试每个（x-1）-tuple连接到PP并计算MST

对于MST，使用x ^ 2我有复杂性（N超过X-1）* x ^ 2 ......相当复杂，但我认为它会给我最优解决方案

你觉得怎么样？

随机节点

编辑我的意思是随机但是FIXED节点

尝试可视化x = 2 （每个描述属于上面的图片）

让这个成为我们的城市，节点A-F是房屋，边缘是未来电缆的候选者（每个都有一些成本）

仅为图像，这可能是解决方案

让绿色的一个成为发电厂，这是如何看待与一棵树的连接

但这种不同的连接实际上是相同的（连接到发电厂（pp）的成本相同，电缆保持不变）。这就是为什么我们可以将其中一个节点设置为pp的固定接触点。我们可以肯定，节点将位于其中一个树中，并且树中的位置无关紧要。

因此，这是我们固定的情况，G为PP。添加零成本的边（B，G）。

现在我正在尝试连接第二个连接PP（A，G，费用0）

现在我从PP计算MST。因为红色边缘是最便宜的（实际上甚至可能具有负成本），是否确定，它们都将在MST中。

因此，当运行MST时，我得到类似的东西。想象一下，将PP和两块MINIMAL COST树分开。这是A和B的最佳解决方案，是与PP的连接。我存储了成本并继续前进。

现在我对B和C连接做同样的事情

我可以得到类似的东西，所以将成本与之前的成本进行比较并选择更好的成本。

这样我必须尝试所有的连接对（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F），最便宜的一对是赢家。

对于X = 3，我只测试其他元组，再次修复一个元组。 （A，B，C）（A，B，D）......（A，C，D）......（A，E，F）

Answer 6

我刚刚提出了以下简易解决方案：

N - 节点数

C - 直接连接到网格

E - 可用边

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1，按成本对所有边缘进行排序

2，重复（N-C）次：

1. 选择最便宜的边缘
2. 检查添加此边缘是否会导致已添加边缘的圆圈
3. 如果没有，请添加此边缘

3，这就是全部...你将最终得到C个不相交的边集，将每一组连接到网格

Answer 7

听起来像着名的旅行推销员问题。已知的问题是NP难。以维基百科为起点：http://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem