求解T（n）= 2T（n / 2）+ log n

Question

我正在尝试解决T（n）= 2T（n / 2）+ log n

取代n = 2 ^ k

T(2^k) = 2T(2^(k-1)) + k  
T(2^k) = 2^2 T(2^(k-1)) + 2(k-1) + k

after k steps
T(2^k) = 2^k T(1) + 2^(k-1) + 2 * (2^(k-2)) +....+k

所以基本上我需要总结一个i * 2 ^ i的项，其中i = 1到log n - 1 而且我找不到一个简单的方法来总结这些术语。难道我做错了什么 ？有没有其他方法来解决这种递归？会掌握定理工作吗？如果是，那么？

感谢。

Answer 1

Wolfram|Alpha gives a closed form solution：

表示由初始条件确定的常数c_1。

顺便说一句，log（n）/ log（2）= lg（n），其中lg是基数2的对数。

Answer 2

首先应该定义一个递归导出，比如说T（1） 然后： 因为T（2 ^ k）= 2T（2 ^（k-1））+ k; * 我们定义g（k）= T（2 ^ k）/ 2 ^ k; 然后*进入： g（k）= g（k-1）+ k / 2 ^ k = g（1）+ sum（i / 2 ^ i）; I = 2,3,4 ...，K 其中g（1）= T（1）/ 2 = c;

然后你可以展开sum表达式并定义它= y; 然后展开y / 2的表达; y-y / 2是几何级数，所以你可以解决它

当我计算出来时，sum = 3/2 - （k + 2）/ 2 ^ k;

所以T（n）= 2 ^ k * g（k）=（3/2 + c）* n - （2 + logn）