Question

尝试以下指数积分：

Integrate[  Exp[-2 A Sqrt[x^2 + a^2] + I ( x Subscript[k, x] + b )],
            {x, 0,   Infinity}
]

我找回了一些非常印刷但没有评估过的东西？这是否意味着Mathematica无法执行积分并放弃？我没有看到任何消息说这就是发生了什么。

为了提供这个问题的上下文，这是我用纸和笔完成的积分的一维版本：

\int d^3 r e^{ i \vec{k} \cdot \vec{r} } e^{ - 2 Z r/ a_0 }

尝试mathematica的目的是看我是否可以验证我的结果：

16 \pi Z a_0^3/(4 Z^2 + k^2 a_0^2)^2

Answer 1

通过简单的变量更改，“简单”案例Exp[-2 A Sqrt[a^2 + x^2]就会产生自信：

Integrate[Exp[-2*A*Sqrt[a^2 + x^2]]*Dt[x] /. x -> Sqrt[t^2 - a^2] /. Dt -> (1 & ), {t, a, Infinity}, Assumptions -> a > 0 < A]

获取

a*(-BesselK[0, 2*a*A] + BesselK[1, 2*a*A])

Answer 2

正确，当Mathematica吐出整体时，通常意味着它不知道该怎么做。有时候，它只能在某些假设下做积分（例如'a＆gt; 0'和真实），但它通常会给出答案作为一个巨大的if语句。

这个特殊的积分并非微不足道。它不符合我熟悉的任何特殊功能的形式。因此，就Mathematica所具有的特殊功能而言，它不可能以封闭的形式表达。

另外，Subscript[k, x]有什么意义？我尝试删除它，Mathematica仍然不能做积分。