Question

我已经阅读了关于扩展欧几里德算法的部分＆amp;模块化反转，表明它不仅计算GCD(n,m)而且还计算a和b，a*n+b*b=1; 通过这种方式描述算法：

记下n，m和两个向量（1,0）和（0,1）

将两个数字中较大的一个除以较小的数字 - 调用此方法   商q

从较大的减去q倍（即减小较大的值）   模数较小的）

（我有问题，如果我们用qn / m表示，那么n-q*m is不等于0？因为q = n / m;（假设n> m），那么为什么有必要这样的操作？然后4步

4.从对应于较小的向量中减去q倍矢量对应的较大 5.重复步骤2到4，直到结果为零 6.将前面的结果发布为gcd（n，m）

所以我对这个问题的问题也是我如何在代码中实现这个步骤？请帮助我，我不知道如何开始，从哪个点开始我可以解决这个问题，为了澄清结果，它应该看起来像这样该算法的一个示例是以下计算30 ^（ - 1）（mod 53）;

53           30           (1,0)                        (0,1)
53-1*30=23   30           (1,0)-1*(0,1)=(1,-1)         (0,1)
23           30-1*23=7    (1,-1)                       (0,1)-1*(1,-1)=(-1,2)
23-3*7=2      7           (1,-1)-3*(-1,2)=(4,-7)       (-1,2)
2             7-3*2=1     (4,-7)                      (-1,2)-3*(4,7)=(-13,23)
2-2*1=0       1           (4,-7)-2*(-13,23)=(30,-53)   (-13,23)

由此我们看到gcd（30,53）= 1，重新排列术语，我们看到1 = -13 * 53 + 23 * 30，所以我们得出结论，30 ^（ - 1）= 23（mod 53）。

Answer 1

除法应该是截断的整数除法。 gcd(a, b)与a <= b的标准EA如下所示：

 b =  a * q0 + r0
 a = r0 * q1 + r1
r0 = r1 * q2 + r2
  ...
r[N+1] = 0

现在rN是所需的GCD。然后你回来替代：

r[N-1] = r[N] * q[N+1]

r[N-2] = r[N-1] * q[N] + r[N]
       = (r[N] * q[N+1]) * q[N] + r[N]
       = r[N] * (q[N+1] * q[N] + 1)

r[N-3] = r[N-2] * q[N-1] + r[N-1]
       = ... <substitute> ...

直到你最终到达rN = m * a + n * b。您描述的算法会立即跟踪回溯数据，因此效率会更高。

如果rN == gcd(a, b) == 1，那么您确实找到a模b的乘法逆，即m：(a * m) % b == 1。

模块化逆的算法

1 个答案: