贝塞尔曲线评估

Question

我在这里使用de Casteljau的算法http://www.cgafaq.info/wiki/B%C3%A9zier_curve_evaluation来关注本文，我尝试使用主题Drawing Bezier curves using De Casteljau Algorithm in C++ , OpenGL来帮助。没有成功。

评估后，我的bezier曲线看起来像这样

正如你所看到的，即使它不起作用我想要它，所有的点确实在曲线上。我不认为这个算法因此而不准确。

以下是该图片顶部曲线上的点数： （0,0） （2,0） （2,2） （4,2）第二条曲线使用相同的点集，但第三点是（0,2），即第一点上方两个单位，形成更陡峭的曲线。

出了点问题。我应该为t输入0.25，它应该为X值吐出1.0，而.75应该总是返回3.假设t是时间。它应该以恒定的速度发展，是吗？恰好25％的方式，X值应该是1.0，然后Y应该与该值相关联。

是否有足够的方法来评估贝塞尔曲线？有谁知道这里发生了什么？

感谢您的帮助！ ：）

修改------

我在google搜索http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf中找到了这本书，这是我在显式/非参数贝塞尔曲线上找到的页面。它们是多项式，表示为贝塞尔曲线，这就是我在这里要做的。这是书中的那个页面：

任何人都知道如何将贝塞尔曲线转换为参数曲线？我现在可以开一个不同的主题......

自2011年11月1日起编辑-------

我意识到我只是问了一半问题，就像我应该的那样清楚。我正在尝试构建的就像Maya的动画图形编辑器，例如这个http://www.youtube.com/watch?v=tckN35eYJtg&t=240，其中用于修改曲线的贝塞尔控制点更像是相等长度的切线修改器。老实说，我不记得他们是等长的。通过强制使用这样的系统，您可以100％确保结果是一个函数并且不包含重叠的段。

我找到了这个，可能有我的答案http://create.msdn.com/en-US/education/catalog/utility/curve_editor

Answer 1

在这里，您可以看到在the nomenclature in your link之后在Mathematica中实现的算法，以及您的两个图：

(*Function Definitions*)

lerp[a_, b_, t_] := (1 - t) a + t b;
pts1[t_] := {
   lerp[pts[[1]], pts[[2]], t],
   lerp[pts[[2]], pts[[3]], t],
   lerp[pts[[3]], pts[[4]], t]};
pts2[t_] := {
   lerp[pts1[t][[1]], pts1[t][[2]], t],
   lerp[pts1[t][[2]], pts1[t][[3]], t]};
pts3[t_] := {
   lerp[pts2[t][[1]], pts2[t][[2]], t]};

(*Usages*)

pts = {{0, 0}, {2, 0}, {2, 2}, {4, 2}};
Framed@Show[ParametricPlot[pts3[t], {t, 0, 1}, Axes -> True], 
            Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@pts}]]

pts = {{0, 0}, {2, 0}, {0, 2}, {4, 2}};
Framed@Show[ParametricPlot[pts3[t], {t, 0, 1}, Axes -> True], 
            Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@pts}]]

BTW，曲线由以下参数方程定义，这些方程是上面代码中的函数pts3[t]：

c1[t_] := {2 t (3 + t (-3 + 2 t)), (* <- X component *)
                 2 (3 - 2 t) t^2}  (* <- Y component *)

和

c2[t_] := {2 t (3 + t (-6 + 5 t)), (* <- X component *)
               , 2 (3 - 2 t) t^2}  (* <- Y component *)

尝试绘制它们！

采用任何这些曲线方程，并通过求解三次多项式，在这些情况下，你可以得到y [x]的表达式，这当然不总是可行的。只是为了让你了解它，从你得到的第一条曲线（C语法）：

y[x]= 3 - x - 3/Power(-2 + x + Sqrt(5 + (-4 + x)*x),1/3) + 
              3*Power(-2 + x + Sqrt(5 + (-4 + x)*x),1/3)

Try plotting it!

修改

只是一种娱乐：

Mathematica是一种功能非常强大的函数式语言，事实上整个算法可以表示为一个单一的算法：

f = Nest[(1 - t) #[[1]] + t #[[2]] & /@ Partition[#, 2, 1] &, #, Length@# - 1] &

如

f@{{0, 0}, {2, 0}, {0, 2}, {4, 2}}

给出了上述结果，但支持任意数量的点。

让我们尝试六个随机点：

p = RandomReal[1, {6, 2}];
Framed@Show[
  Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@p}],
  ParametricPlot[f@p, {t, 0, 1}, Axes -> True]]

此外，相同的功能在3D中起作用：

p = RandomReal[1, {4, 3}];
Framed@Show[
  Graphics3D[{Red, PointSize[Large], Point@p}],
  ParametricPlot3D[f[p], {t, 0, 1}, Axes -> True]]

Answer 2

贝塞尔曲线可以通过求解x，y和z坐标的以下参数方程来解决（如果它只是2D，只做x和y）：

Px = (1-t)^3(P1x) + 3t(1-t)^2(P2x) + 3t^2(1-t)(P3x) + t^3(P4x)
Py = (1-t)^3(P1y) + 3t(1-t)^2(P2y) + 3t^2(1-t)(P3y) + t^3(P4y)
Pz = (1-t)^3(P1z) + 3t(1-t)^2(P2z) + 3t^2(1-t)(P3z) + t^3(P4z)

您也可以通过将矩阵方程ABC = X乘以其中来解决此问题：

1. 矩阵A是1x4矩阵，表示t
的幂的值
2. 矩阵B是t的幂的系数，是一个下三角形的4x4矩阵
3. 矩阵C是一个4x3矩阵，表示3D空间中的四个贝塞尔点中的每一个（它将是2D空间中的4x2矩阵）

这将如下所示：



（更新 - 左下角1应该是-1）

方程的两种形式（参数形式和矩阵形式）的一个重要注意事项是t在[0,1]范围内。

而不是尝试解决t的值，它会给你x和y的整数值，这将是非常耗时的，因为你基本上是在解决对于三次多项式的实根，最好只在t值中创建足够小的差值，使得曲线上任意两点之间的差异小于像素值增量。换句话说，两个点P(t1)和P(t2)之间的距离使得它小于像素值。或者，您可以在t中使用较大的差异，并在P(t1)和P(t2)之间进行线性插值，请注意，如果{P(t1)之间的差异，曲线可能不会“平滑”。 1}}和P(t2)对于来自[0,1]的t的给定范围来说不够小。

从t中找到必要的微分以从视觉角度创建相当“平滑”曲线的好方法是实际测量定义贝塞尔曲线的四个点之间的距离。测量从P1到P2，P2到P3和P3到P4的距离。然后取最长距离，并使用该值的倒数作为t的差值。您可能仍需要在点之间进行一些线性插值，但每个“线性”子曲线中的像素数应该相当小，因此曲线本身看起来相当平滑。您始终可以从此初始值减小t上的差值，使其“更平滑”。

最后，回答你的问题：

  

假设是时间。它应该以恒定的速度发展，是吗？恰好25％的方式，X值应该是1.0，然后Y应该与该值相关联。

不，这是不正确的，原因是矢量（P2 - P1）和（P3 - P4）不仅与P1和P4的贝塞尔曲线相切，而且它们的长度定义了速度沿着这些点的曲线。因此，如果向量（P2-P1）是一个短距离，那么这意味着在给定的时间t，你将不会离点P1很远...这转换为x，y值对于t的给定固定微分，沿着曲线非常紧密地堆积在一起。当你向P1移动时，你有效地“减速”速度。根据矢量的长度（P3-P4），在曲线上的P4处发生相同的效果。沿着曲线的速度唯一的方式是“恒定”，因此t的共同微分的任何点之间的距离将是相同的，如果所有三个部分的长度（P2-P1） ），（P3-P2）和（P4-P3）相同。这表明沿曲线的速度没有变化。

Answer 3

听起来你实际上只想要1D立方贝塞尔曲线而不是你所拥有的2D曲线。具体来说，你真正想要的只是一个从0开始的三次多项式段，当在0到4的域上进行求值时，它会上升到2。所以你可以使用一些基本的数学并找到多项式：

f(x) = a + b*x + c*x^2 + d*x^3
f(0) = 0
f(4) = 2

留下两个自由度 取该函数的导数：

f'(x) = b + 2*c*x + 3*d*x^2

如果你想让它在开始时陡峭，然后在结束时保持平衡，你可能会说：

f'(0) = 10
f'(4) = 0

然后我们可以插入值。 a 和 b 免费提供，因为我们的评估为零。

a = 0
b = 10

那么我们就有了：

f(4) = 2 = 40 + c*16 + d*64
f'(4) = 0 = 10 + c*8 + d*48

这是一个非常容易解决的线性系统。为了完整起见，我们得到：

16c + 64d = -38
 8c + 48d = -10

所以 -

1/(16*48 - 8*64)|48 -64||-38| = |c| = |-37/8 |
                |-8  16||-10|   |d|   |  9/16|

f(x) = 10*x - (37/8)*x^2 + (9/16)*x^3

相反，如果您决定要使用Bezier控制点，只需选择4个y值控制点并识别为了在[0,1]中获得 t ，只需要说t=x/4（记住，如果你还需要衍生品，你也必须在那里进行改变）。

---

添加了：

如果您碰巧知道要开始和结束的积分和衍生物，但您想使用Bezier控制点 P1 ， P2 ， P3 和 P4 ，映射就是这样（假设曲线参数化为0到1）：

P1 = f(0)
P2 = f'(0)/3 + f(0)
P3 = f(1) - f'(1)/3
P4 = f(1)

如果出于某种原因，您希望坚持使用2D Bezier控制点，并希望确保 x 维度从0到2线性提前，因为 t 高级从0到1，那么你可以用控制点(0,y1) (2/3,y2) (4/3,y3) (2,y4)来做到这一点。您可以看到我只是将 x 维度从0开始，结束于2，并且具有2的恒定斜率（导数）（相对于 t ）。然后你只需要y坐标就可以了。不同的维度基本上是相互独立的。

Answer 4

毕竟这一次，我一直在寻找hermite曲线。隐士是好的，因为在一个维度上，他们保证产生可以评估为XY点的功能曲线。我把隐士与贝齐尔混为一谈。

Answer 5

＆＃34;假设是时间。＆＃34;

这是问题 - 不是时候。该曲线具有它自己的t变化率，具体取决于切线的大小。像Jason所说的那样，后续点之间的距离必须相同，t的顺序与时间相同。这正是Maya曲线编辑器中的非加权模式（默认情况下使用）。所以对于如何解决这个问题，这是一个非常好的答案。要使其适用于任意切线，必须将时间转换为t。您可以通过计算x（或时间）方向的贝塞尔方程来找到t。

Px =（1-t）^ 3（P1x）+ 3t（1-t）^ 2（P2x）+ 3t ^ 2（1-t）（P3x）+ t ^ 3（P4x）

Px是你的时间，所以你知道这里的一切，但是。你必须求解一个三次方程来找到根。找到你需要的确切根，有一个棘手的部分。然后你解决另一个方程式找到Py（你正在寻找的实际值），现在知道t：

Py =（1-t）^ 3（P1y）+ 3t（1-t）^ 2（P2y）+ 3t ^ 2（1-t）（P3y）+ t ^ 3（P4y）

这就是Maya中的加权曲线。 我知道这个问题已经过时了，但是我整整一天都在研究这个简单的事情，并没有人确切地解释发生了什么。否则，计算过程本身就会写在很多地方，比如Maya API手册。 Maya devkit还有一个源代码来执行此操作。