我正在通过Graham Hutton的在Haskell编程，第3章的练习问“什么是类型？”对于函数twice f x = f (f x)。
我想我理解为什么答案是twice :: (t -> t) -> t -> t。 （编辑：我做了不了解原因。请参阅我对Paolo答案的评论。）但是，为了实验我写了另一个函数thrice f x = f (f (f x))。
我绝对不会理解的是thrice也有thrice :: (t -> t) -> t -> t类型的原因。
他们按照我期望的方式工作（见下文），但我看不出thrice的类型是否有意义。
来自ghci：
>> twice tail [0,1,2,3,4]
[2,3,4]
>> thrice tail [0,1,2,3,4]
[3,4]
答案 0 :(得分：8)
也许更容易看到无点：
twice f = f . f
thrice f = f . f . f
所以你自己组合f几次。为了能够将f与自身组合在一起，将f应用于参数的结果必须具有合适的类型，以便f可以应用于此。现在，如果你从
f :: a -> r -- argument type -> result type
适用性条件意味着r必须与a匹配。对于表示r = a的类型变量。因此，twice以及thrice将函数从某种类型转换为相同类型，并将函数从该类型返回到相同类型，
twice :: (a -> a) -> (a -> a)
thrice :: (a -> a) -> (a -> a)
由于函数类型箭头是右关联的（x -> y -> z = x -> (y -> z)），因此可以省略类型中的最后一个括号。
答案 1 :(得分：4)
抱歉，也许我不明白你的问题，但是如果你看一下你自己的列表示例，你会看到在两次和三次的情况下，输入是从列表到列表的函数（{{1 }}和一个列表（tail），返回类型是一个列表。
因此[0,1,2,3,4]和twice都匹配签名thrice：从t到t的函数（在您的情况下为(t -> t) -> t -> t），在（在您的情况下是一个列表）和另一个t（列表）作为回报
答案 2 :(得分：4)
两次的类型表明两次是来自具有域 a 和codomain a 的函数的函数到域 a 和codomain a 的函数。 三次的类型表明三次是来自具有域 a 和codomain a 到函数的函数的函数域 a 和codomain a 。
要了解原因，请考虑推导两次和三次的类型。给定函数 f ： a → a 和变量 x ，确定类型的规则f （ fx ）声明我们必须首先确定 f 和（fx）的类型，然后应用规则功能应用。确定（fx）类型的规则规定我们必须首先确定 f 和 x 的类型，然后应用规则进行功能应用
首先，因为 f 的类型为 a → a 而 x 的类型为 a ，函数应用程序的规则指出（ fx ）的类型为 a 。由于 f 的类型为 a → a ，（ fx ）的类型为 a ，函数应用程序的规则指出 f （ fx ）的类型为 a 。函数应用程序规则的另一个应用是 f （ f （ f x ））类型 a 。如您所见，为应用程序重复应用规则， f n x 将为所有<的 a 类型< em> n ∈ℕ。
其次，函数抽象规则指出，如果 x ：τ， M ：τ'和 x 在 M 中不会自由发生，然后抽象λ x ：τ。 M 的类型为τ→τ'。我们有术语 f （ fx ）和 f （ f （ fx ））类型为 a 的变量和类型为 a 的变量 x 。因此，抽象λ x ： a 。 f （ f x ）和λ x ： a 。 f （ f （ f x ））都有类型 a → a 。最后，由于 f ： a → a ，再次应用函数抽象规则得到λ f ：< em> a → a 。 λ x ： a 。 f （ f x ）和λ f ： a → a 。 λ x ： a 。 f （ f （ fx ））具有类型（ a → a ）→ （ a → a ）。
正如您所看到的，Haskell的类型系统过于无法表达两次将函数 f 应用于参数 x 两次，而三次将函数 f 应用于参数 x 三次。 可以表达的是两次和三次接受函数作为输入并从术语 x 到术语 y ，类型 a 。此函数是λ x ： a 。 f （ f x ）两次和λ x ： a 。 f （ f （ f x ））三次。
我建议阅读Haskell类型系统所基于的多态性λ演算的简短介绍。这将呈现打字关系，并且可能引导读者证明某些术语具有某些类型。
答案 3 :(得分：1)
试图赢得简洁比赛：
类型签名指定函数的输入（参数）的类型，以及函数返回的值 因此，函数类型签名中的项目数是（n + 1），其中n是函数所用参数的数量。