将树分成相等的部分

Question

我正在寻找一种算法，通过从中删除一个边缘来分割具有N个节点的树（其中每个节点的最大度数为3），从而使得作为结果的两棵树尽可能接近N / 2。如何找到“最集中”的边缘？

树来自算法的前一阶段的输入，并作为图形输入 - 因此它不平衡，也不清楚哪个节点是根。

我的想法是找到树中最长的路径，然后选择最长路径中间的边缘。它有效吗？

最理想的是，我正在寻找一种解决方案，可以确保这两棵树都没有超过2N / 3个节点。

感谢您的回答。

Answer 1

我不相信您的初始算法适用于我在评论中提到的原因。但是，我认为您可以使用修改后的DFS在O（n）时间和空间中解决此问题。

首先走图表来计算总节点数;叫这个现在，选择一个任意节点并将树根目录。我们现在将从根开始递归地探索树，并将为每个子树计算每个子树中有多少个节点。这可以使用简单的递归来完成：

• 如果当前节点为null，则返回0.
• 否则：
  • 对于每个孩子，计算以该子项为根的子树中的节点数。
  • 返回1 +所有子子树中的节点总数

此时，我们知道每个边缘通过移除边缘将得到什么分割，因为如果该边缘下面的子树中有k个节点，则溢出将是（k，n-k）。因此，您可以通过遍历所有节点并寻找最均衡（k，n - k）平衡的节点来找到最佳切割。

计算节点花费O（n）时间，并且运行递归访问每个节点和边缘最多O（1）次，因此也需要O（n）时间。对于O（n）的净运行时间，找到最佳切割需要额外的O（n）时间。由于我们需要存储子树节点计数，我们也需要O（n）内存。

希望这有帮助！

Answer 2

如果你看到我对Divide-And-Conquer Algorithm for Trees的回答，你会发现我会找到一个节点，将树分成两个大小相等的树（自下而上的算法），现在你只需要选择其中一个边缘这个节点可以做你想做的事。

您当前的方法不起作用假设您有一个完整的二叉树，现在将一个长度为3*log n的路径添加到其中一个叶子（将其命名为bad leaf），您的最长路径将在一个内另一个叶子到连接到这个bad叶子的路径的末端，你的中间边缘将在这条路径内（实际上在你通过坏叶子之后）并且如果你在这个边缘上划分基础你有一部分O(log n)和另一部分O(n)。