Question

给定n个骰子，'a'侧和b中的每一个返回可以获得总和b的方式的数量。如何减少时间复杂度和空间复杂度？这是在Google采访中被问到的，我不确定答案。

Answer 1

这要求您找到将b写为n正整数之和的方法的数量。答案是b部分n的{{3}}个(b-1 choose n-1)部分，a。

现在，如果我们考虑到零件尺寸限制为x^b的约束，那么问题就会变得更加有趣。我建议使用compositions。答案将是产品(x+x^2+...+x^a)^n中1的系数。为什么？因为对于每个骰子（骰子的单数），你有一个介于a和x之间的数字，这由x^i的指数表示。当您从每个n条款中选择一个i时，这相当于该死亡中出现的数字b。指数的总和必须是你所追求的总和，即(x + x^2 + ... + x^a)^n = sum_{k1+k2+...+ka=n} (n multichoose k1,k2,...,ka) x^{k1+2*k2+...+a*ka}。

我们甚至可以使用generating functions来简化问题：

ki >= 0

所有sum_{k1+k2+...+ka=n & k1+2*k2+...+a*ka=b} (n multichoose k1,k2,...,ka)。所以答案是方法的数量是

{{1}}

Answer 2

我会有一个数组hits[max + 1]，它计算每个值的可能组合数。 max为n * a，当然hits[0]至hits[n - 1]将保持为空。

愚蠢的方法是做n for-loop（每个骰子一个）并在hits中记录当前骰子总和的命中。

不那么愚蠢的方法是使用一些组合词，我写出每个有序 shuffle的组合数：

有1111（sum = 4）的1个组合有4个组合1112（sum = 5）
共有4个组合1113（总和= 6）
...
有11 *（sum = 7）的4 * 3/2组合 ...
有12 *（总和= 10）的4 * 3 * 2组合 ...
有aaaa（sum = n * a）

的1种组合

你需要在for-loops中花费的时间少于愚蠢的解决方案每次迭代都会得到很多命中，而不是使用哑法进行一次命中。

那些for循环只移动（n-1）分区分隔（1,2,3,4，...，a）。分离可以在同一点上（例如，对于案例1111，它们都在1和2之间），但是你必须没有低于1或高于a的分离。

Answer 3

假设a足够大（具体为a> = b-n），则归结为

x1+x2+x3+...+xn=b

这是在'n'孩子中分发'b'糖果的典型问题。如果你想避免0面临死亡，应该很容易看到

(y1+1)+(y2+1)...+(yn+1)=b
y1+y2+...+yn=b-n

所以一般解决方案 z1 + z2 + ... zk = n是 C（N + K-1，K-1）

在收到几个downvotes后编辑：

假设我们限制'a'即b-n> a，我们可以将其表述为DP问题

dp[k][j] is no. of ways to get a sum of j using dices 1 to k inclusive
dp[1][j] is 0 if j>a or j==0 else 1

然后我们可以评估以下关系

from k = 2 to n
  from j = 1 to b
     from x = 1 to a
        dp[k][j] += dp[k-1][j-x] where x is from 1 to a at max and x<j

并且答案应该是dp [n] [b] 订单n * b和运行时间O（n * b * a）

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3 个答案: