Question

我有一个很好的三次样条代码，但它仅用于插值。我需要extrapolate进入未来。这样做有没有人知道一个很好的代码来源，而不是一个库？

This is the code我在基本（现在的ASM）中写了插值。

Answer 1

您不需要新的代码。

要推断样条曲线，您可以推断第一个和最后一个样条曲线的参数。

取决于您现有的代码/库，如果不修改代码，可能无法实现。在这种情况下，只需将两个其他点添加/添加到点列表的开头/结尾。您可以通过在第一个/最后两个点之间进行线性插值来获得这两个点。

小心：根据点的原始含义，外推可能完全不合适，特别是在统计数据方面。在这种情况下，您应该考虑使用regression analysis。

Answer 2

为简单起见，我将代表一个三次贝塞尔曲线作为4分（A，B，C，D），其中A和D是曲线的端点， B和C是“控制处理点”。（实际曲线通常不触摸控制手柄点）。

参见"Don Lancaster's Guru's Lair Cubic Spline Library" 用于转换这种三次贝塞尔曲线表示的方法进入其他流行的陈述。

<强>插值

给出一个三次贝塞尔曲线（P0，P1，P2，P3），我们使用De Casteljau's algorithm 切断Bezier曲线左半部分和右半部分。即使在没有“乘法”指令的微控制器上，这也非常简单，因为它只需要计算一些平均值才能得到一个中点：

P0
   F0 := average(P0, P1)
P1                       S0 := average(F0, F1)
   F1 := average(P1, P2)         Midpoint := average(S0, S1)
P2                       S1 := average(F1, F2)
   F2 := average(P2, P3)
P3

整个贝塞尔曲线为（P0，P1，P2，P3）。

整个贝塞尔曲线的左半部分是贝塞尔曲线（P0，F0，S0，M）。

整个贝塞尔曲线的右半部分是贝塞尔曲线（M，S1，F2，P3）。

许多微控制器继续将每条曲线分开变成越来越小的小曲线直到每件都小到足以接近一条直线。

但我们想要走另一条路 - 推断出更大的曲线。

<强>外推

鉴于左半部分或右半部分，我们可以反过来运行它来恢复原始曲线。

让我们想象一下，我们忘记了原点P1，P2，P3。

给定贝塞尔曲线的左半部分（P0，F0，S0，M），我们可以通过以下方式向右推断：

S1 := M + (M - S0)
F1 := S0 + (S0 - F0)
P1 := F0 + (F0 - P0)

然后使用这些值来计算

F2 := S1 + (S1 - F1)
P2 := F1 + (F1 - P1)

最后

P3 := F2 + (F2 - P2)

推断并恢复外推的Bazier曲线（P0，P1，P2，P3）。

<强>详情

外推曲线（P0，P1，P2，P3）通过原始曲线中的每个点（P0，F0，S0，M） - 特别是，从P0开始并经过中点M - 并一直持续到达P3。

我们总能从任意4点（P0，F0，S0，M）推断，是否最初计算这4个点作为一些较大的Bezier样条的左半部分（或右半部分）。

我相信你已经知道了这一点，但为了清楚起见：

Midpoint = average(F0, F1)

表示“在点F0和F1之间正好找到中点”，或换句话说，

Midpoint.x = (F0.x + F1.x)/2
Midpoint.y = (F0.y + F1.y)/2
Midpoint.z = (F0.z + F1.z)/2

表达式

S1 := M + (M - S0)

表示“给定一个线段，一端在S0，中点在M，从S0开始，沿着直线经过M直到你到达另一端S1“，或换句话说（除非你有一个像样的矢量库）3行代码

S1.x := M.x + (M.x - S0.x)
S1.y := M.y + (M.y - S0.y)
S1.z := M.z + (M.z - S0.z)

。（如果你正在做2D，跳过所有“z”的东西 - 它总是为零）。

Answer 3

你真的必须稍微扩展这个问题。此外，“三次样条”是一个非常宽泛的术语。

如果您对样条线感兴趣，我可以衷心地推荐Carl de Boors“Splines实用指南”。然而，它有点数学导向，但它包含代码示例（可以从作者的主页下载）。谷歌搜索和维基“三维样条”可以提出一些例子，甚至可能在特定的语言中 - 另一个问题是添加到问题中（如果你正在寻找代码）。

如果您对外推和曲线拟合感兴趣，谷歌搜索可能会有所帮助。 Matlab包有一个非常漂亮的曲线拟合工具箱。维基百科有一些指向有用参考的链接

真的，这个问题太宽泛了，甚至开始猜测答案。

另外，你能解释一下你到底想要做什么吗？什么样的数据？什么？

Edit1：在这里，试试这个：你可以在这里找到一些有用的东西 - link

Answer 4

通常，对于样条插值，您可以使用变量t对线进行插值。只要0 <= t <= 1，就进行插值。但是，当t < 0或t> 1你只是简单地推断样条曲线。

Answer 5

您需要为请求的代码编写更好的要求。样条通常用于通过使用某些固定数据集来插入某些未知或复杂函数。如果要在此数据集的边界之外估计函数的值，则不应使用样条曲线。

如果您的样条函数在您真正想要评估值的位置定义（立方体，而不是分段立方体），那么您已经可以评估该值。

如果您希望能够在插值范围之外评估样条曲线，但将其保留为在插值范围内具有相同值的分段三次函数，则应该通过某些节点扩展样条曲线范围，并添加一些评估逻辑新节点处的值（例如，您希望样条不仅是连续函数，而且还有一些一阶导数也是连续函数）

我真的建议你使用一些更适合外推的算法，比如使用Lagrange polynomial，如果你真正需要的是单个值，距离原始数据集的点不是很远。

三次样条外推法

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