Question

什么是特征值，向量和扩展？作为算法设计者，我该如何使用它们？

编辑：我想知道你是如何在你的程序中使用它的，这样我就能得到一个想法。感谢。

Answer 1

它们比矩阵代数用得更多。例子包括：

隐式马尔可夫模型的渐近状态分布由左特征向量给出，该特征向量与状态转移矩阵的单位特征值相关联。
最好的＆amp;在网络中寻找社区结构的最快方法是构造所谓的模块性矩阵（基本上是“令人惊讶的”是两个节点之间的连接），然后与最大特征值相关联的特征向量元素的符号告诉你如何将网络划分为两个社区
在主成分分析中，您基本上从数据的n> = k维协方差矩阵中选择与k个最大特征值相关联的特征向量，并将数据投影到k维子空间。使用最大的特征值可确保您保留对数据最重要的维度，因为它们是具有最大差异的维度。
许多图像识别方法（例如面部识别）依赖于从已知数据（大量面部）构建特征基础，并且看到使用特征基础重建目标图像是多么困难 - 如果它很容易，那么目标图像可能来自eigenbasis描述的集合（即特征脸很容易重建面部，但不能重建车辆）。
如果你正在进行科学计算，量子哈密顿量的特征向量是那些稳定的状态，因为如果系统在时间t1处于本征态，那么在时间t2> t1，如果它没有被打扰了，它仍然会在那个本征状态。另外，与哈密顿量的最小特征值相关联的特征向量是系统的基态。

Answer 2

特征向量和相应的特征值主要用于在不同的坐标系之间切换。这可以通过将问题球体从一个坐标系移动到另一个坐标系来极大地简化问题和计算。

这个新的坐标系具有特征向量作为其基向量，即它们“跨越”该坐标系。由于它们可以被归一化，因此来自第一个坐标系的变换矩阵是“正交”，即特征向量具有幅度1并且彼此垂直。

在变换坐标系中，线性运算A（矩阵）是纯对角线。有关详细信息，请参阅Spectral Theorem和Eigendecomposition。

快速暗示例如，你可以从一般的二次曲线：

ax ^ 2 + 2bxy + cy ^ 2 + 2dx + 2fy + g = 0

将其重写为

AX ^ 2 + BY ^ 2 + C = 0

其中X和Y沿着特征向量的方向计数。

干杯！

Answer 3

在算法中使用特征值需要您精通所涉及的数学。我绝对是一个谈论数学的人：我呕吐它。

欢呼，jrh。

Answer 4

特征值和向量在矩阵计算中用作反向矩阵的发现。因此，如果您需要编写数学代码，预先计算它们可以加快某些操作。

简而言之，如果你进行矩阵代数，线性代数等，你需要它们。

Answer 5

使用物理学家青睐的符号，如果我们有一个算子H，那么|x>是H的本征态，当且仅当

H|x> = h|x>

我们在h下调用|x>与特征向量H相关联的特征值。

（这里系统的状态可以用矩阵表示，使得这个数学与已经链接的所有其他表达式同构。）

一旦发现这些东西，我们将把它们用于这些事物：

给定运算符下系统的全部特征向量形成系统的orthagonal spanning集。如果没有简并，这个集合可能。这非常有用，因为它允许非常紧凑地表达系统的任意（非本征）状态。