Question

之前已经提到这个问题参考2D。这个问题扩展到3D。如何在3D空间中的点上找到直线相交点？如果我的行由点(x1,y1,z1)＆amp; (x2,y2,z2)我在太空中有一个点(x3,y3,z3)。

如何在（x3，y3，z3）的线上找到点（x4，y4，z4）的垂直交点？

Answer 1

对于初学者来说，你几乎需要一些Vector3类的实现，无论你是自己编写，在互联网上找到一个独立的实现，还是使用包含XNA之类的库或Sharp3D.Math

通常，3d空间中的线不是由两个点表示，而是由参数方程表示，并由向量而不是标量操作。您的参数方程将采用以下形式：

x = x1 + t(x2-x1), y = y1 + t(y2-y1), z = z1 + t(z2-z1)

向量 u 由t的系数定义。＆lt; x2-x1，y2-y1，z2-z1＆gt;。

矢量 PQ 由您选择的点 Q 减去线上的点 P 来定义。可以选择线上的任何点，因此最简单的方法是使用线t = 0，这简化为x1，y1和z1。＆lt; x3-x1，y3-y1，z3-z1＆gt;

3空间中点与线之间的最短距离的定义如下：

D = || PQ x u || / || 你 ||

其中x是叉积运算符，|| ... ||得到包含向量的大小。根据您选择的库，您的代码可能会有所不同，但应该非常相似：

Vector3 u = new Vector3(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1);
Vector3 pq = new Vector3(x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1);

float distance = Vector3.Cross(pq, u).Length / u.Length;

编辑：我刚刚意识到你想要的是实际的交叉点，而不是距离。找到实际点的公式有点不同。您需要使用内部产品空间来使 u 的组件垂直于 PQ 。为此，您需要在 PQ 方向找到 u 的组件：

（（ PQ ·你）/ || 你 || ^ 2）* 你

这让我们得到 w1 组件，但我们想要 w2 ，这是Q和线之间的组件：

PQ = w1 + w2

w2 = PQ - w1

从那里，我们采用 w2 并将其添加到 Q 点以获得最接近 Q 的直线上的点。在代码中，这将是：

Vector3 p1 = new Vector3(x1, y1, z1);
Vector3 p2 = new Vector3(x2, y2, z2);
Vector3 q = new Vector3(x3, y3, z3);

Vector3 u = p2 - p1;
Vector3 pq = q - p1;
Vector3 w2 = pq - Vector3.Multiply(u, Vector3.Dot(pq, u) / u.LengthSquared);

Vector3 point = q - w2;

point.X为x4，point.Y为y4，point.Z为z4。

Answer 2

在实践中，您要求计算点和线之间的距离，因此从Length点到与矢量正交的线的矢量(x3,y3,z3)。如果我们像向量一样想象线条，那意味着两个向量的dot-product等于0。（这只是为了给你一个提示）。

Answer 3

我们也可以使用AAS三角法。

A - (x1,y1,z1), B - (x2,y2,z3) , C - (x3,y3,z3)

我们需要找到AB线中与点C垂直的点D

现在我们有方向向量

VectorAC = normalize(A - C),
VectorCA = normalize(C - A),
VectorAB = normalize(A - B),

让我们将ADC视为三角形

点积给出两个矢量之间的角度

AngleA = Angle Between VectorAC and vectorAB
AngleD = Angle Between VectorDC and vector DA, Always 90 deg, As VectorDC and DA are perpendicular to each other.
AngleC =  180 - (AngleA + AngleD), Angle between VectorCD and VectorCA.

所以现在我们有三角三角

使用AAS三角形方法并找到A和D之间的距离。

http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-aas-triangles.html

 D = (A + (VectorAB * Distance between A and D)).

Answer 4

我做了标记为最佳答案的答案的计算：
令alpha = [（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）+（z3-z1）（z2-z1）] / [（ x2-x1）（x2-x1）+（y2-y1）（y2-y1）+（z2-z1）（z2-z1）]
交点=（x1 + alpha *（x2-x1），y1 + alpha *（y2-y1），z1 + alpha *（z2-z1））。

3D点上的垂直点

4 个答案:

我们也可以使用AAS三角法。

让我们将ADC视为三角形