球面坐标到平面的距离

Question

背景信息

考虑如下所示的球面坐标系：

Coordinate System http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif

对于特定点，我们通过（r，theta，phi）指定其位置。

可以在此坐标系中将平面描述为所有点（r，theta，phi）的集合，使得phi = phi'。

问题

假设我们有一个由固定的phi = phi'给出的单个平面。对于任意点（r，theta，phi），计算从（r，theta，phi）到由phi = phi'定义的平面的距离的最快和最简单的方法是什么？

基本上，我试图在球坐标中找到一个简单的点到平面距离的公式。

我尝试了什么

我认为简单地从球形坐标转换为笛卡尔坐标以生成点（x，y，z）=（r，theta，phi）然后在笛卡尔坐标中生成平面就足够了。然后我可以使用标准公式来计算笛卡尔坐标中从点到平面的距离。 这种方法不是最优的，因为我需要在我的代码的内部循环中运行这十亿次计算。

一个理想的答案会告诉我如何计算这个距离而不转换成笛卡尔坐标。但是，如果有人能够在“我尝试过的内容”中验证我的想法是否合理，那么它也会很有用。

提前致谢！

Answer 1

你的方法是“正确的”，但对于这个问题它有点过于通用。在您的问题中，您正在处理特定类型的平面：穿过z轴的平面。

鉴于这一事实，我们可以尝试捷径。假设我们围绕z轴旋转坐标系以获得另一个系统（X，Y，z），使得之前给出的平面现在是X-z平面。

在这个新系统中，点的坐标是（r，theta，phi-phi'）。因此，X-z平面上的投影是    r * sin（theta）* sin（phi - phi'）。 这是最终答案，因为我们平面上点的投影长度在两个坐标系中都是相同的。

如果我们正在处理通用飞机，那么你的方法会更好。

Answer 2

如果你正在寻找r的另一面（不是在phi平面上），那应该是：

d = |r|sin(90 - theta)

因为我们有一个直角三角形。

Answer 3

另一种获得@Parakram Majumdar答案的方法。

平面可以通过垂直于平面 n 的单位矢量和平面距原点的距离进行参数化， b （参见http://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html ）。由于你的平面穿过原点，我们有 b = 0 ，垂直于平面的单位向量是 phi 方向的单位向量，即 phi = [ - sin（phi'），cos（phi'），0] 。点 r 的距离 a 就是点积， n * r ：

n*r = [-sin(phi'), cos(phi'), 0] * [r*sin(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi), r cos(theta)] = r*sin(theta)*sin(phi-phi')

Answer 4

不是r * tan（phi）？

落入xz平面（假设y轴是极轴），角度phi是“新平面”和当前phi位置之间的角度。

在下图中，phi实际上等于（新的phi - 当前phi）。