Dijkstra在二进制堆密集图上的线性运行时间

Question

第一：Dijkstras最短路径算法的一般运行时间是

其中m是边数，n是顶点数

秒：预期的减号操作数量如下

第三次：使用二进制堆的dijkstra的预期运行时间允许在log（n）时间内执行所有操作

但是，如果我们考虑图表密集，为什么密集图上的运行时间是线性的

有人可以在这里帮助进行O符号和日志计算吗？

Answer 1

首先，如果m是n log(n) log(log(n))的大欧米茄，那么log(n)就是log(m)的大欧米茄，这并不难说明。因此，您可以证明m是n log(m) log(log(m))的大o。

通过此，您可以证明n是m / (log(m) log(log(m)))的大o。

将其替换为第三点中的表达式，我们得到预期的运行时间：

O(m + n log(m/n) log(n))

                   m                                                 m
    = O(m + (------------------) log(log(m) log(log(m))) log(------------------)
             log(m) log(log(m))                              log(m) log(log(m))

从这里，您可以将所有产品日志扩展为日志总和。你会得到很多条款。然后，这只是一个证明每个人都是O(m)或o(m)的问题。这很简单，但很乏味。

Answer 2

我的解决方案现在是以下