Question

我有一些代码：

int CalculateAckermann(int x, int y)
{
    if(!x)
    {
        return y++;
    }
    if(!y)
    {
        return CalculateAckermann(x--,1);
    }
    else
    {
        return CalculateAckermann(x--, CalculateAckermann(x, y--));
    }
}

旨在计算ackermann函数。在相当低的x和y数量之上，应用程序会导致堆栈溢出，因为它会过度递归并导致相当大的数字。我将如何慢慢计算解决方案？

Answer 1

如果您希望仅使用封闭形式，那么m＆lt; 4的算法很简单。如果你想扩展到tetration，那么我建议你写一个fastpower算法，可能使用二进制方法，然后用这个方法你可以写一个tetration函数。这看起来像是：

int Tetration(int number, int tetrate)
{
    long int product=1;
    if(tetrate==0)
        return product;
    product=number;
    while(tetrate>1)
    {
        product=FastPower(number,product);
        tetrate--;
    }
    return product;
}

然后你可以覆盖最多n == 4的情况，然后使用递归定义和A（5，n）溢出的值以荒谬的速度，所以它真的没关系。虽然你的老师可能不会对这样的算法感到满意，但它的运行速度会快得多。在我的一个离散类中，当我要求编写一个算法来计算斐波纳契数，然后找到它的O（n）时，我写了封闭的形式，然后写了O（1）并得到了充分的信任，一些教授欣赏聪明的答案。

关于Ackerman函数的重要注意事项是它基本上定义了整数上的加法函数的heirachy，A（1，n）是加法，A（2，n）是乘法，A（3，n）是取幂，A（4，n）是tetration，5之后函数增长得太快而不适用。

查看加法，乘法等的另一种方法是：

Φ0 (x, y ) = y + 1
Φ1 (x, y ) = +(x, y )
Φ2 (x, y ) = ×(x, y )
Φ3 (x, y ) = ↑ (x, y )
Φ4 (x, y ) = ↑↑ (x, y )
           = Φ4 (x, 0) = 1 if y = 0
           = Φ4 (x, y + 1) = Φ3 (x, Φ4 (x, y )) for y > 0

（使用前缀表示法，即+（x，y）= x + y，（x，y）= x y。

Answer 2

IIRC，Ackermann函数的一个有趣特性是评估它所需的最大堆栈深度（在调用级别）与函数的答案相同。这意味着可以通过硬件虚拟内存的限制对实际计算进行严格限制。具有多精度算术包是不够的;你需要更多的比特来存储数字对数的对数，而不是宇宙中的亚原子粒子。

再次，IIRC，你可以得到相对简单的A（1，N），A（2，N）和A（3，N）的闭合公式，沿着以下几行（我似乎记得3在答案中，但细节可能不正确）：

A（1，N）= 3 + N
A（2，N）= 3 * N
A（3，N）= 3 ^ N

A（4，N）的公式涉及一些挥动和堆叠指数N-deep。然后，A（5，N）的公式包括堆叠A（4，N）的公式...它变得非常奇怪且非常快速昂贵。

随着公式变得越来越复杂，计算变得完全无法管理。

Ackermann function上的维基百科文章包含“价值表”部分。我的记忆生疏了（但是20年前我上次对此进行了详细研究），它给出了封闭的公式：

A（0，N）= N + 1
A（1，N）= 2 +（N + 3）-3
A（2，N）= 2 *（N + 3）-3
A（3，N）= 2 ^（N + 3）-3

A（4，N）= 2 ^ 2 ^ 2 ^ ... - 3（其中2为2的幂，N + 3次）。

Answer 3

（感觉像是一个家庭作业问题，但无论如何我都会回答......）

详细了解Ackermann功能。例如，WikiPedia article说

“即使对于小输入，其值也会快速增长。例如，A（4,2）是19,729个十进制数字的整数”。

我怀疑你的32位（或64位，取决于你的架构）整数是溢出的，你因为这些问题而进入无限循环。简单的printf样式调试将显示整数溢出。如果您想实际计算Ackermann函数，则需要使用无限精度bignum库，如GNU MP。

另外，请阅读Tail Recursion，以及如何优化它。

Answer 4

您需要预先递减，而不是递减，或者您只是在每个点将相同的x和y值传递给函数。您可能还想构建一些安全程序以确保没有负参数，因为如果x或y为负数，则未定义Ackerman函数。

int CalculateAckermann(int x, int y)
{
    if (x < 0 || y < 0)
    {
        abort();
    }

    if(x == 0)
    {
        return y+1;
    }
    if(y == 0)
    {
        return CalculateAckermann( x-1,1);
    }
    else
    {
        return CalculateAckermann(x-1, CalculateAckermann(x, y-1));
    }
}

计算较大的ackermann函数值

4 个答案: