嗨我对可数性有疑问。为什么有必要弄清楚某些事情是否可数。找到它有用吗？而且，如果有些事情是不可数的，那是否意味着没有图灵机可以解决它？
答案 0 :(得分：4)
我希望通过回答你的问题，我无法帮助你回答考试问题。
可数性和图灵机是同一枚硬币的两面。它们是确定问题是否“可计算”的互补方式。还有其他显示可计算性的等效方法（查找算盘机，可数函数，可计算函数等）。根据定义，如果您可以证明它可以通过图灵机解决，则可以显示可计算的问题。或者，如果您可以显示它具有来自可数无限集的解决方案双射，则可以显示可计算的问题。
顺便说一句，可数无限集是“小”无限集或集合ℵ0。 （用外行人的话说，小的无限或可数无限的集合是整数集。整数，奇数或偶数具有相同的基数 - 小的无限集。有无限集的无限层次，从ℵ0开始上升对于ℵ_∞。ℵ0，整数集是最小的无限集.ℵ1是ℵ的超集。 R ，实数的集合，与ℵ1具有相同的基数，依此类推。 ）了解存在无穷大的层次结构将有助于您了解需要证明什么才能显示可计算性。
基本的图灵机有一个小的无限磁带。表明图灵机可以计算出问题意味着问题显示出一个由无限时间和空间限制的解决方案。图灵机有一个带有无限单元的磁带，可以容纳符号。在任一方向上都有无限的单元格（小的无限），就像整数集在任一方向上都是无限的一样。与磁带相关联的是读写磁头，可以在磁带上向左或向右移动，并且可以在每次移动时读取或写入单个符号。显示一系列指令，将磁带上的磁头从初始状态移动到最终停止或终止状态，以显示问题是“可计算的”。证明图灵机无法解决问题的方法是证明问题不可计算 - 无论我们是否给出了无数的时间或资源。顺便说一句，时间和空间是互补的。如果你可以使用可数无限的空间在有限的时间内解决问题，或者用可数（即小）的无限时间来解决它消耗有限空间的问题，那么就表明问题是可计算的。
答案 1 :(得分：3)
我可以给你一些答案（抱歉，我只知道一点点计算理论）。
只有相当多的图灵机。因此，如果您有一组问题是不可数的，您知道该集合中至少存在一个问题，即没有图灵机可以解决它。
因此，例如，如果你的问题是
对于某些函数f：N - >; N，编写一个程序，给定n，计算f（n）
你知道至少有一个f没有给出这样的程序，因为有很多这样的f。
我不相信这种分析可以应用于暂停问题，因为暂停问题恰好包含1个问题：“给定图灵机的代码，决定是否给定空白磁带，最终停。”这只是一个问题，有很多可能的输入，因此，只需通过计数，它看起来可能是可解决的。你不得不以其他方式争论它是不可解决的。
当然，可数性和不可数性的重要性远比这个例子多得多。我希望其他人可以提供更多。
答案 2 :(得分：0)
在图灵机以及数学和科学的许多其他地方，可数性实际上非常重要。 A由于图灵机必须顺序执行操作，因此可以为每个步骤分配一个计数。如果这个过程永远持续下去，那么这个过程就是无限的。
图灵机不合适的操作示例是将1到2之间所有数字的平方相加。可以很容易地证明此区间中的整数有理数列表可以列在可数列表，其中每个数字可以用计数数字1对1映射。因此，可以通过图灵机执行在该数字列表上一次执行一个步骤。但是，这个区间的无理数不能做到这一点，因为它们太多了。可以显示（不太容易）无理数的列表不能被放入有序（可数）列表中。因此，没有顺序可以列出区间上的每个数字，这意味着图灵机无法完成任务，即使给定了无限的时间。