分析算法中的递归

Question

这是我的算法课中的旧作业问题。我有问题的解决方案，但即使经过多次尝试，我也无法理解如何正确思考如何解决问题。

function h(N) {
    if (N==1) return 3;
    else { 
        sum = 1;
        i = 0;
        while (i < h(N-1))
            sum = sum + i;
            i = i + 1;
        return sum;
   }
}

据我所知，由于在while循环中重复调用h（N-1），while循环应该运行与h（N-1）返回的次数一样多的次数。除此之外，while循环中的函数调用h（N-1）也会发生很多次。因此，据我所知，我应该得到这样的东西：

T（N）= T（N-1）* H（N-1）+ C * H（N-1）+ D

其中
1. T（N）是运行时间，
2. T（N-1）* H（N-1），因为对h（N-1）的一次递归调用将取T（N-1）并且因为每次进行比较时它都被重新计算，所以它将被调用H（N-1）次。 （其中H（N-1）是从通话中返回的值） 3.和C * H（N-1）是while循环内语句的运行时间（因为while循环运行H（N-1）次。

我的教授没有得到满意的答复，如果有人能帮助我理解这一点，我将不胜感激。

谢谢！

Answer 1

尝试分两步了解这一点，首先考虑这个更简单的函数，我们用while替换if循环。

function g(N) {
    if (N==1) return 3;
    else { 
        sum = 1;
        i = 0;
        if(i < g(N-1))
            sum = sum + i;
            i = i + 1;
        return sum;
   }
}

在这里，我们得到了重复：

G(N) = G(N-1) + O(1)

到目前为止，这么好吗？在这里，计算g（N）的工作包括解决较小的问题g（N-1）加上一定量的工作。

现在，让我们回到原来的函数h（N）。发生了什么变化？现在，计算h（N）的工作涉及解决子问题h（N-1），h（N-1）次。在每个时代（即在while循环中），我们都会做一些不变的工作。还有另一个恒定量的工作仅在h（N）中完成一次，即在while循环之外。所以，我们基本上得到：

H(N) = H(N - 1) *{H(N - 1) + O(1)}  + O(1)

我们可以通过替换T(n) = H(n) + O(1)来重写上述内容。因此，我们得到：

T(N) = H(N - 1) * T(N - 1)  + O(1)

Answer 2

假设在执行h（N）时，在循环的每次迭代中重新计算h（N-1）的值（对于大多数语言和大多数编译器来说可能就是这种情况）