具有一组功率的笛卡尔积

Question

如何用另一套显式写出电源组的笛卡尔积。

例如：P（{a，b}）x {a，b}

现在P（{a，b}）= {{}，{a}，{b}，{a，b}}

所以我需要知道{{}，{a}，{b}，{a，b}} x {a，b}

Answer 1

让X成为一个集合。 X的幂集定义为

P(X) := { S | S ⊆ X }

设置X和Y。产品X × Y定义为

X × Y := { (x,y) | x ∈ X, y ∈ Y }

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现在设置X和Y。我们将描述X与Y：

的幂集的笛卡尔乘积

P(X) × Y = { (S,y) | S ∈ P(X), y ∈ Y }

但S ∈ P(X)当且仅当S ⊆ X时。这允许我们重写我们的产品

P(X) × Y = { (S,y) | S ⊆ P(X), y ∈ Y }

换句话说，P(X) × Y由有序对组成，因此第一个坐标是X的某个子集，第二个坐标是Y的元素。

Answer 2

1. 您的示例与您的问题不一致：

你问＆＃34;如何使用另一个设置明确写出幂集的笛卡尔积？＆＃34;然后你给出P的例子（{a，b} ）x {a，b}，这是具有相同集的幂集的笛卡尔积，即{a，b}。

1. 就你的例子而言，如你所说：

P（{a，b}）= {{}，{a}，{b}，{a，b}}

然后回顾两组笛卡尔积的定义：

E x F = {（e，f），e在E中，f在F中}

然后应用这个定义：

P（{a，b}）x {a，b} = {{}，{a}，{b}，{a，b}} x {a，b}                  = {（{}，a），（{}，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{ a，b}，a），（{a，b}，b）}

然而，这种性质在任何具体情况甚至理论定理中都不太可能有用，因为我们几乎从不遇到{a}和a被对待的情况＆＃34;同等地＃34; （我的意思是，在相同的＆＃34;级别和＃34;集合中），尽管从数学的角度来看它是完全正确的。