插入排序分析和求和表示法

Question

我正在尝试了解插入排序的最坏情况分析，我对slide 21 (ppt)所涉及的数学有疑问。

我理解第一个公式：

但这些我正在努力：

1. 为什么最后会有- 1？
2. 另外，我不明白这一点：
   

Answer 1

将高斯从1加到n的高斯'技巧：

第一个公式

但是，您要计算的总和从2开始，而不是1，这就是您必须从公式中减去第一项（即1）的原因：

第二个公式

基本上，您计算从1到（n-1）的总和。如果您使用n替换{Gautes'技巧中的n-1，则会收到他们使用的第二个公式。

您还可以通过索引转换看到这一点：

正如你所看到的，我已经调整了总和的边界：总和的上限和下限都减少了1.实际上，这会使总和中的所有项减少1 ，要更正此问题，您必须在Σ：(j-1) + 1 = j下的术语中添加1。

Answer 2

Σ(j=2 to n) j=n(n+1)/2-1从2而不是1开始。所以这是相同的术语加在一起 除了1.所以总和少了1个。

Σ(j=2 to n)(j-1)与Σ(j=1 to n-1)(j)一起添加的术语相同。因此，要查找其总和，请将n替换为公式n-1中的n(n+1)/2。