为什么Dijkstra的算法不能用于负权重边缘？

Question

有人可以告诉我为什么Dijkstra的单源最短路径算法假设边缘必须是非负的。

我说的只是边缘而不是负重量周期。

Answer 1

回想一下，在Dijkstra的算法中，一旦顶点被标记为“已关闭”（并且在开集之外） - 算法找到了最短的路径，并且永远不必开发此节点再次 - 它假定开发到此路径的路径是最短的。

但是负重 - 可能不是真的。例如：

       A
      / \
     /   \
    /     \
   5       2
  /         \
  B--(-10)-->C

V={A,B,C} ; E = {(A,C,2), (A,B,5), (B,C,-10)}

来自A的Dijkstra将首先开发C，后来无法找到A->B->C

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编辑更深入的解释：

请注意，这很重要，因为在每个放松步骤中，算法假设“闭合”节点的“成本”确实是最小的，因此下次选择的节点也是最小的。

它的想法是：如果我们有一个打开的顶点使其成本最小 - 通过向任何顶点添加任何正数 - 最小值永远不会改变。
没有正数约束 - 上述假设不正确。

由于我们“知道”每个“闭合”的顶点都是最小的 - 我们可以安全地进行放松步骤 - 而不是“回头看”。如果我们确实需要“回顾” - Bellman-Ford提供类似递归的（DP）解决方案。

Answer 2

考虑下面显示的图，源为Vertex A.首先尝试自己运行Dijkstra算法。

当我在解释中提到Dijkstra的算法时，我将讨论下面实现的Dijkstra算法，

因此，开始最初分配给每个顶点的值（从源到顶点的距离），

我们首先在 Q = [A，B，C] 中提取具有最小值的顶点，即A，之后 Q = [B，C] 。注意A对B和C有一个有向边，它们都在Q中，因此我们更新了这两个值，

现在我们将C提取为（2 <5），现在 Q = [B] 。请注意，C未连接，因此line16循环不会运行。

最后我们提取B，之后。注意B有一个C的有向边，但C不存在于Q中，因此我们再次不在line16中输入for循环，

所以我们最终将距离视为

注意这是错误的，因为当你走时，从A到C的最短距离是5 + -10 = -5。

因此，对于此图，Dijkstra的算法错误地计算从A到C的距离。

这是因为Dijkstra的算法不会尝试找到已从Q 中提取的顶点的较短路径。

line16循环正在做的是取顶点 u 并说＆＃34;嘿，看起来我们可以从 v 通过你来源，（alt或替代）距离是否比我们得到的当前 dist [v] 更好？如果允许，请更新 dist [v] ＆＃34;

请注意，在line16中，他们会检查所有邻居 v （即 u到v 的有向边缘） u 仍然在Q 。在line14中，他们会从Q中移除访问过的笔记。因此，如果 x 是 u 的访问过的邻居，则路径 甚至不会将视为从源到 v 的可能更短的方式。

在上面的示例中，C是B的访问邻居，因此未考虑路径，使当前最短路径保持不变。

如果边缘权重都是正数，这实际上是有用的，因为那样我们就不会浪费时间考虑不能的路径短。

所以我说在运行此算法时如果在 y 之前从Q中提取 x ，则无法找到路径 - 短。让我用一个例子来解释这个，

由于 y 刚刚被提取并且 x 已经被提取出来，所以 dist [y]＆gt; dist [x] 因为否则 y 会在 x 之前被提取出来。 （line 13最小距离）

因为我们已经假设边缘权重是正的，即长度（x，y）> 0 。因此，通过 y 的替代距离（alt）总是肯定更大，即 dist [y] + length（x，y）＆gt; DIST [X] 即可。因此，即使 y 被视为 x 的路径， dist [x] 的值也不会更新，因此我们得出结论有意义的是只考虑仍在Q中的 y 的邻居（注意line16中的评论）

但这个事情取决于我们对正边长的假设，如果长度（u，v）<0 那么取决于我们可能取代 dist [x]的负边缘程度在line18进行比较后，。

  

因此，如果在所有顶点 v 之前删除 x ，我们所做的任何 dist [x] 计算都将不正确 - 这样 x 是 v 的邻居，负边连接它们 - 被移除。

因为每个 v 顶点都是潜在的第二个顶点＆＃34;更好＆＃34;从源到 x 的路径，由Dijkstra算法丢弃。

所以在我上面给出的例子中，错误是因为在删除B之前删除了C.虽然那个C是B的邻居，但有一个负边缘！

为了澄清，B和C是A的邻居。 B有一个邻居C，C没有邻居。 length（a，b）是顶点a和b之间的边长。

Answer 3

Dijkstra的算法假定路径只能变得“更重”，所以如果你有一条从A到B的路径，权重为3，路径从A到C的权重为3，那你就无法添加边缘，从A到B到C，重量小于3。

这个假设使得算法比必须考虑负权重的算法更快。

Answer 4

Dijkstra算法的正确性：

我们在算法的任何步骤都有2组顶点。集合A由我们计算最短路径的顶点组成。集B由剩余的顶点组成。

归纳假设：在每一步我们都会假设所有先前的迭代都是正确的。

归纳步骤：当我们将一个顶点V添加到集合A并将距离设置为dist [V]时，我们必须证明该距离是最佳的。如果这不是最优的，则必须有一些到顶点V的其他路径，其长度较短。

假设这个其他路径经过某个顶点X.

现在，由于dist [V]＆lt; = dist [X]，因此到V的任何其他路径将至少为dist [V]长度，除非图形具有负边长。

因此，对于dijkstra的算法，边缘权重必须是非负的。

Answer 5

在下图中尝试Dijkstra的算法，假设A是源节点，看看发生了什么：

Answer 6

回想一下，在Dijkstra的算法中，将某个顶点标记为“封闭”（且不在开放集中）-它假定源自该顶点的任何节点都将导致更大的距离，因此，算法找到了到达它的最短路径，并且不再需要再次开发此节点，但是在负权重的情况下就不成立了。

Answer 7

您可以对不包含负循环的负边缘使用dijkstra算法，但是必须允许顶点可以多次访问，而该版本将失去快速的时间复杂性。

在那种情况下，实际上我已经看到最好使用SPFA algorithm，它具有正常的队列并且可以处理负边缘。

Answer 8

Dijkstra的算法 假设所有边都为正加权，并且这种假设比其他算法（考虑到可能性）的运行速度更快的负边缘（例如，贝尔曼·福特算法的复杂度为O（V ^ 3））。

在以下情况下，如果A是源顶点，此算法将无法给出正确的结果：

此外，即使存在负边缘，Dijkstra的算法 有时也可以给出正确的解决方案 。以下是这种情况的示例：

它将永远不会检测到负循环 ，并且 总是会产生结果 ，如果负权重循环可从源到达，因为在这种情况下，图中从源顶点不存在最短路径。

Answer 9

到目前为止，其他答案很好地说明了为什么Dijkstra的算法无法处理路径上的负权重。

但是问题本身可能是基于对路径权重的错误理解。如果通常在寻路算法中允许对路径施加负权重，那么您将获得永不停止的永久循环。

考虑一下：

A  <- 5 ->  B  <- (-1) ->  C <- 5 -> D

A和D之间的最佳路径是什么？

任何寻路算法都必须在B和C之间连续循环，因为这样做会减少总路径的权重。因此，允许负连接权重将使任何pathfindig算法无济于事，除非您将每个连接限制为仅使用一次。