Question

我有一棵树，每个边都被赋予一个权重（一个可以是正数或负数的实数）。我需要一种算法来找到最大总重量的简单路径（也就是说，路径中边缘权重之和最大的简单路径）。路径开始或结束的节点没有限制。

我有一个可能的算法，但我不确定它是否有效，我正在寻找证据。这是：

选择任意节点 u 并运行DFS（ u ）以查找从 u 开始的最大权重简单路径。让（ u ， v ）成为这条道路。
运行DFS（ v ）以查找从 v 开始的最大权重简单路径。让这条路径为（ v ， z ）。

然后（ v ， z ）是一个最大权重的简单路径。该算法在图的大小上是线性的。任何人都可以告诉我它是否有效，如果有，请提供证据吗？

注意： Longest Path Problem是带有周期的常规图表的NP-Hard。但是，我只考虑这里的树木。

Answer 1

如果允许负权重，请考虑以下示例：

a<->b : -5000
a<->c : 1
b<->d : 1
b<->e : 1

最长路径 d＆lt; - ＆gt; b＆lt; - ＆gt; e 长度为2

随意选择 a 开始。 DFS以距离1返回 c 。第二个DFS返回 a ，距离为1.但是 a＆lt; - ＆gt; c 不是最长的路径。

Answer 2

这是一个证明它有效的证据。该算法找到一对节点x0，y0，使得max_x d（x，x0）= max_y d（x0，y）（即，x0和y0彼此是最远的节点）。对于任何这样的对，d（x0，y0）是直径。证明：让x *，y *为两个节点s.t. d（x *，y *）是直径。存在节点r和s，使得路径看起来像x0-r-s-y0和x * -r-s-y *。假设d（x0，y0）＆lt; d（x *，y *），然后d（x0，y *）＆gt; d（x0，y0）或d（y *，x0）> d（y0，x0），与x0和y0是彼此最远点的事实相矛盾。因此d（x0，y0）= d（x *，y *）

Answer 3

如果您确定图表中没有循环，我会尝试类似：

function findLongestPath(tree)
begin

   all_paths := {}

   for each neighbour 
      all_paths.append(create_path(this_node, findLongestPath(three - current_node))

   sort_descending(all_paths)
   return  all_paths[0];
end

该算法可以进一步优化，只存储最佳路径而不是集合（无需存储所有可能的路径和排序）。

找到无向加权树中的最长路径

3 个答案: