Question

所以我被赋予了一个功能，我将改变功能，因为它是功课，我想学习如何做到这一点，而不是被告知答案是什么。

使用big-Oh和Ω的定义，找到上限和下限以下表达式。请务必说明c和k的适当值。

c ₁ 3 ⁿ + c ₂ n ⁴，其中常数为正整数。

现在，我理解如何确定函数f（n）∈O（g（n））或f（n）∈Ω（g（n）来自类。

我不明白的是如果你所拥有的只是f（n），那么如何确定g（n）。我希望这是有道理的！

编辑：我敢肯定你可以强行插入g（n）的一堆函数，但如果有更好的解决方案，那就不是我想要的了。

Edit2：我们不能使用限制方法，他们希望我们以某种方式使用基本定义。

编辑3：以下是我们给出的定义：

以下是我对Big O的看法：

对于T（n）非负值函数，T（n）在集合O（f（n））中如果存在两个正常数c和k使得T（n）<= c * f（n）对于所有n＆gt; ķ。

对于Ω：

对于T（n）非负值函数，如果存在两个正常数c和k，则T（n）在集Ω（g（n））中，使得T（n）> = c * g（n）对于所有n＆gt; ķ

Answer 1

直觉是f∈O（g）意味着g在某种程度上等于或大于f;并且f∈Ω（g）意味着g在某种程度上等于或小于f。在我的回答中，对于如何选择常数，我不会太精确/挑剔。

首先要热身，你应该说服自己

f∈O（f）且f∈Ω（f）。（令c = 1，定义中k = 1）。
如果f∈O（g），则g∈Ω（f），反之亦然。（如果你找到一个常数（c，k），那么（1 / c，k）是你需要的常数）
如果f∈O（g），则对于任何正常数P，Q，f∈O（P * g）和Q *f∈O（g）。这意味着通过正常数乘以函数无关紧要。同样适用于Ω。
如果f∈O（g）且f∈O（h），则f∈O（MIN（g，h））。
如果f∈Ω（g）且f∈Ω（h），则f∈Ω（MAX（g，h））。

当您面临试图找到O或Ω的f + g时，通常会猜测O（f）或O（g）或Ω（f）或Ω（g）。

在你的3 ^ n + n ^ 4的情况下，我们知道3 ^n∈O（3 ^ n），n ^4∈O（n ^ 4）和3 ^ n + n ^4∈O（ 3 ^ n + n ^ 4）。但我们希望做得更好。我们想要证明3 ^ n + n ^4∈O（3 ^ n + 3 ^ n）= O（3 ^ n）。如果我们能显示n ^4∈O（3 ^ n），我们就可以做到这一点。

我们应该按照定义说我们应该这样做：显示有（c，k）这样所有n＆gt; k

n^4 ≤ c3^n
4log(n) ≤ log(c) + nlog(3)
4log(n) - nlog(3) ≤ log(c)

显示此c始终存在的一种方法是使用微积分：显示4log（n） - nlog（3）最终是递减函数。导数是4 / n - log（3），我们可以看到足够大的n，它是负的。因此，对于足够大的n，4log（n）-nlog（3）正在减少。因此，存在不等式为真的正常数c。因此n ^4∈O（3 ^ n）。并且3 ^ n + n ^4∈O（3 ^ n + 3 ^ n）= O（3 ^ n）。

因为3 ^ n + n ^4≥1* 3 ^ n，3 ^ n + n ^4∈Ω（3 ^ n）。为了说明常数无关紧要，让我们使用c_1和c_2：c_1 * 3 ^ n + c_2 * n ^ 4。设d：= min（c_1，c_2）。然后

c_1*3^n + c_2*n^4 ≥ d(3^n + n^4) ≥ d*3^n

所以c_1 * 3 ^ n + c_2 * n ^4∈Ω（3 ^ n）。类似地，使用O（3 ^ n）：设d：= max（c_1，c2）。那么对于足够大的n，

c_1*3^n + c_2*n^4 ≤ d(3^n + n^4) ≤ d(c*3^n) = (dc)*3^n

我们知道这个c存在是因为3 ^ n + n ^4∈O（3 ^ n）。因此c_1 * 3 ^ n + c_2 * n ^4∈O（3 ^ n）。

不确定我是否回答得足够，但希望有所帮助。

Big-O和Big Omega的功能 - 家庭作业

1 个答案: