简化债务加权有向图的算法

Question

我一直在使用我编写的一个小蟒蛇脚本来管理我的室友之间的债务。它有效，但有一些缺失的功能，其中之一是简化不必要的复杂债务结构。例如，如果下面的加权有向图表示某些人，箭头表示他们之间的债务（Alice欠Bob 20美元和Charlie $ 5，Bob欠Charlie 10美元等）：

很明显，此图表应简化为下图：

如果爱丽丝可以直接把它交给查理，10美元从艾丽丝到鲍勃，然后从鲍勃到查理，没有任何意义。

然后，在一般情况下，目标是采用债务图并简化它（即生成具有相同节点但边缘不同的新图），以便

1. 没有一个节点的边缘指向它内外（没有无用的钱转手）
2. 所有节点都具有与原始图表中相同的“流程”（在资金最终位置方面相同）。

通过“流量”，我的意思是所有输入的值减去所有输出（这是否有技术术语？我不是图论专家）。因此，在上面的示例中，每个节点的流量值为：

• Bob：+10
• Alice：-25
• 查理：+15

您可以看到第一个和第二个图表在每个节点上具有相同的流量，因此这是一个很好的解决方案。还有一些其他简单的情况，例如，可以通过删除最低值边缘并从所有其他边缘减去其值来简化任何循环。

此：



应简化为：



我无法想象没有人研究过这个问题;我只是不知道要搜索哪些术语来查找信息（再次，不是图论专家）。我一直在寻找几个小时无济于事，所以我的问题是：根据上面针对任何加权有向图指定的条件，什么算法会产生简化（新图）？

Answer 1

这是一篇学术论文，详细研究了这个问题。第8节中还有一些示例代码用于不同的算法。

Verhoeff, T. (2004). Settling multiple debts efficiently : an invitation to computing science. Informatics in Education, 3(1), 105-126.

Answer 2

简单算法

您可以在O（n）中找到期望获得或支付多少钱。所以你可以简单地创建两个列表，一个用于借记，另一个用于信用，然后平衡两个列表的头部直到它们为空。从你的第一个例子：

• 初始状态：借记：（A：25），学分：（B：15，C：10）
• 第一笔交易，A：15 - ＆gt; B：借记：（A：10），信用：（C：10）
• 第二次交易，A：10 - ＆gt; C：借方:(），信用:(）

事务定义图表的边缘。对于涉及的n个人，最多将有n-1个交易=边缘。最初，两个列表的总长度为n。在每个步骤中，至少有一个列表（借方/贷方）缩短一个，最后两个清单一次消失。

问题在于，通常情况下，此图表不必与原始图表类似，因为我认为这是一个要求。 （是吗？有些情况下，最优解决方案包括添加新边缘。想象一下，由于B和B由于C的金额相同，A应该直接支付C，但这个边缘不在债务图中。）

减少交易

如果目标只是构建一个等效图表，您可以搜索债权人和债务人名单（如上节所述）以获得完全匹配，或者信用额度与 1的借方匹配的情况/ em>人（或反过来）。寻找bin packing。对于其他情况，除了拆分流之外别无选择，但即使是上面的简单算法，也会生成一个图表，其边缘比参与者少一个 - 最多。

编辑：感谢j_random_hacker指出如果有一组人的总债务与另一组人的信用匹配，那么边界少于n-1的解决方案是可能的：那么，问题可以分为两个子问题，事务图的总成本为n-2个边。不幸的是，subset sum problem是NP难的。

流量问题？

也许这也可以转换为min-cost flow problem。 如果您只想简化原始图表，则在其上构建流程，边缘容量是借方/贷方的原始金额。债务人充当流入节点（通过连接器节点，为所有债务人提供容量等于其总债务的边缘），债权人用作流出节点（具有类似的连接节点）。

如果您想最大限度地减少交易次数，您更愿意保留“大”交易并减少“小”交易。因此，每条边的成本可以建模为该边上流的倒数。

Answer 3

我实际上遇到了与你完全相同的问题：）

我认为krlmlr的各种解决方案并不能完全解决问题。我会考虑如何完全解决它（在最小边缘意义上），但与此同时，一个实际的替代解决方案是发明一个新人，史蒂夫：< / p>

1. 史蒂夫实际上不是一个人。史蒂夫只是一个水桶，附有一张纸。
2. 每个人都计算他们所欠的净额（或者欠下的，如果是负数），并将其写在纸上，并附上他们的名字。
3. 任何人的净头寸都是他们欠钱的，只要他们可以，就会给史蒂夫带来足够的净额，然后将他们的名字砍掉。
4. 每个人的净头寸都是他们欠钱的，当史蒂夫看到史蒂夫的时候会从史蒂夫那里得到这些钱，而且他们的名字也是如此。

如果一个欠钱的人不能立刻支付全部费用，他们可以给史蒂夫他们目前可以买得起的东西，并将这笔金额从他们的名字中扣除全部欠款。同样地，如果你欠的钱比史蒂夫现有的钱多，你可以拿走他现有的所有钱，并从欠你名字的欠款中扣除这笔钱。

如果每个人在开始时都同意向史蒂夫支付全部金额，那么每个网络人员只需支付一笔存款，而每个网络人员只需提取一笔（尽管这可能需要对史蒂夫进行多次检查以确定他是否目前手头有足够的现金）。史蒂夫的好处在于他总是在身边，而且从不忙于理清财务状况。不幸的是，他非常容易上当受骗，所以爱丽丝，鲍勃和查理需要相互信任，不要利用他。