迭代给定大小的所有子集

Question

我知道迭代一组大小为n的所有子集是性能噩梦，需要花费O（2 ^ n）时间。

如何迭代大小为k的所有子集（对于（0 <= k <= n））？这是一场表演噩梦吗？我知道有（n，k）= n！ / k！ （n - k）！可能性。我知道如果k非常接近0或非常接近n，这是一个很小的数字。

n和k方面的最差情况是什么？除了O（n！/ k！（n - k）！）之外，还有一种更简单的方式吗？这是渐近地小于O（n！）还是相同？

Answer 1

你想要Gosper的黑客：

int c = (1<<k)-1;
while (c < (1<<n)) {
  dostuff(c);
  int a = c&-c, b = c+a;
  c = (c^b)/4/a|b;
}

说明：

使用尽可能多的位设置查找下一个数字基本上减少到只有一个“块1”的数字的情况---数字有一堆零，然后是一堆1，然后是一堆零再次他们的二进制扩展。

处理这样一个“一块”数字的方法是将最高位向左移动并将所有其他位置尽可能低。 Gosper的黑客工作是找到最低设置位（a），找到包含我们不触摸的位的“高位”和“进位”（b），然后产生一个块从最不重要的位开始的适当大小。

Answer 2

很容易证明，对于固定的n，(n, k)的最大值为k = n/2。如果我没有误用英镑的近似值，(n, n/2)的渐近行为是指数的。

对于常数k，(n, k)为O(n^k)。请记住，组合函数是对称的，因此对(n, n-k)来说是相同的。它是多项式的，因此它比O(n!)小。