平均而言，这个不正确的循环会重复多少次？

Question

在某些情况下，循环需要运行一系列从min到max的随机迭代次数。一个有效的解决方案是做这样的事情：

int numIterations = randomInteger(min, max);
for (int i = 0; i < numIterations; i++) {
   /* ... fun and exciting things! ... */
}

许多初学程序员常犯的一个错误就是这样做：

for (int i = 0; i < randomInteger(min, max); i++) {
   /* ... fun and exciting things! ... */
}

这会重新计算每次迭代的循环上限。

我怀疑这不会给出循环迭代次数的统一分布，范围从min到max，但我不确定当你做这样的事情时，你做什么得到的确切分布。有谁知道循环迭代次数的分布是什么？

作为一个具体示例：假设min = 0且max = 2.然后有以下可能性：

• 当i = 0时，随机值为0.循环运行0次。
• 当i = 0时，随机值非零。然后：
  • 当i = 1时，随机值为0或1.然后循环运行1次。
  • 当i = 1时，随机值为2.然后循环运行2次。

第一次事件的概率是1/3。第二个事件的概率为2/3，在其中，第一个子案例的概率为2/3，第二个事件的概率为1/3。因此，平均分布数是

  

0× ¹ / ₃ + 1× ² / ₃ × ² / ₃ + 2× ² / ₃ × ¹ / ₃

     

= 0 + ⁴ / ₉ + ⁴ / ₉

     

= ⁸ / ₉

请注意，如果分布确实是均匀的，我们期望得到1次循环迭代，但现在我们平均只获得 ⁸ / ₉ 。我的问题是，是否有可能推广这个结果以获得更精确的迭代次数值。

谢谢！

Answer 1

最后编辑（也许！）。我敢肯定这不是standard distributions that are appropriate之一。我已经把这个发布的内容放在了这篇文章的底部，因为我认为提供概率的代码更具可读性！下面给出了针对max的平均迭代次数的图表。

有趣的是，当你增加最大值时，迭代次数会减少。如果其他人可以用他们的代码确认这一点，那将会很有趣。

如果我开始对此进行建模，我将从geometric distribution开始，并尝试修改它。基本上我们正在寻找一个离散的，有界的分布。所以我们有零个或多个“失败”（不符合停止条件），然后是一个“成功”。与几何或泊松相比，这里的捕获是成功的概率变化（同样，泊松，几何分布是无界的，但我认为结构上几何是一个很好的基础）。假设min = 0，P（X = k）的基本数学形式，0 <= k <= max，其中k是循环运行的迭代次数，与几何分布一样，是k次失败的乘积术语和1个成功术语，对应于循环条件下的k“假”和1“真”。 （注意，这甚至可以计算最后的概率，因为停止的几率是1，这显然对产品没有影响。）

接下来，尝试在R中的代码中实现它，如下所示：

fx = function(k,maximum)
{
    n=maximum+1;
    failure = factorial(n-1)/factorial(n-1-k) / n^k;
    success = (k+1) / n;
    failure * success
}

这假定min = 0，但推广到任意min并不困难（参见我对OP的评论）。解释代码。首先，如OP所示，概率都以(min+1)为分母，因此我们计算分母n。接下来，我们计算失败条款的乘积。这里factorial(n-1)/factorial(n-1-k)表示例如min = 2，n = 3和k = 2：2 * 1。并且它通常给你（n-1）（n-2） ...表示失败的总概率。随着你进一步进入循环，成功的概率会增加，直到最后，当k=maximum时，它是1。

绘制此分析公式可得到与OP相同的结果，形状与John Kugelman绘制的模拟相同。

顺便提一句，执行此操作的R代码如下

plot_probability_mass_function = function(maximum)
{
    x=0:maximum;
    barplot(fx(x,max(x)), names.arg=x, main=paste("max",maximum), ylab="P(X=x)");
}

par(mfrow=c(3,1))
plot_probability_mass_function(2)
plot_probability_mass_function(10)
plot_probability_mass_function(100)

在数学上，如果我的数学是正确的，则分布是：

简化为

（感谢一大堆http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php）

后者由R函数

给出

function(x,m) { factorial(m)*(x+1)/(factorial(m-x)*(m+1)^(x+1)) }

在R

中绘制平均迭代次数

meanf = function(minimum)
{
    x = 0:minimum
    probs = f(x,minimum)
    x %*% probs
}

meanf = function(maximum)
{
    x = 0:maximum
    probs = f(x,maximum)
    x %*% probs
}

par(mfrow=c(2,1))
max_range = 1:10
plot(sapply(max_range, meanf) ~ max_range, ylab="Mean number of iterations", xlab="max")
max_range = 1:100
plot(sapply(max_range, meanf) ~ max_range, ylab="Mean number of iterations", xlab="max")

Answer 2

以下是我用matplotlib绘制的一些具体结果。 X轴是达到的值i。 Y轴是达到该值的次数。

分布显然不均匀。我不知道它的分布是什么;我的统计知识很生疏。

1。 min = 10，max = 20，iterations = 100,000

2。 min = 100，max = 200，iterations = 100,000

Answer 3

我认为，如果有足够数量的执行，它仍然符合randomInteger函数的分布。

但这可能是一个更适合MATHEMATICS询问的问题。

Answer 4

我不知道它背后的数学，但我知道如何计算它！在哈斯克尔：

import Numeric.Probability.Distribution

iterations min max = iteration 0
  where
  iteration i = do
    x <- uniform [min..max]
    if i < x
      then iteration (i + 1)
      else return i

现在expected (iterations 0 2)为您提供了〜0.89的预期值。也许拥有必要数学知识的人可以解释我在这里做的事情。因为从0开始，循环将始终至少运行min次。