我正在尝试找到一种检测给定图G是否具有两个不同的最小生成树的有效方法。我也试图找到一种方法来检查它是否有3种不同的最小生成树。我现在的天真解决方案是运行Kruskal算法一次并找到最小生成树的总重量。稍后，从图中移除边缘并再次运行Kruskal算法，并检查新树的权重是否是原始最小生成树的权重，对于图中的每个边都是如此。运行时是O（| V || E | log | V |），这根本不是很好，我认为有更好的方法。
任何建议都会有所帮助， 提前谢谢
答案 0 :(得分：3)
您可以修改Kruskal算法来执行此操作。
首先，按重量对边缘进行排序。然后，对于每个重量的升序，过滤掉所有不相关的边。相关边缘在最小跨越森林的连通分量上形成图表。您可以在此图中计算生成树的数量。将产品放在所有权重上，并计算图表中最小生成树的总数。
如果您只关心一棵树，两棵树和三棵或更多树的情况，你可以恢复与Kruskal算法相同的运行时间。我认为你最终会做一个决定性的计算或者一般地计算生成树的东西，所以你可能最终会遇到O（MM（n））最坏情况。
答案 1 :(得分：1)
假设您有图表的MST T0。现在，如果我们可以获得另一个MST T1，它必须至少有一个边缘E与原始MST不同。从E丢弃T1，现在图表分为两个组成部分。但是，在T0中，必须连接这两个组件，因此这两个组件之间会有另一条边，其重量与E完全相同（或者我们可以用更重的一个替换另一个并得到一个较小的ST）。这意味着用E替换另一个边缘会给你另一个MST。
这意味着如果有多个MST，我们总是可以从MST改变一个边缘并获得另一个MST。因此，如果您要检查每个边缘，请尝试将边缘替换为具有相同权重的边缘，如果您获得另一个ST，则它是MST，您将获得更快的算法。
答案 2 :(得分：0)
假设G是一个具有n个顶点和m个边的图;任何边e的权重是W（e）;并且P是G上的最小权重生成树，权衡成本（W，P）。
设δ=任意两个边权重之间的最小正差。 （如果所有边缘权重相同，则δ是不确定的;但在这种情况下，任何ST都是MST，因此无关紧要。）取ε使得δ> 0。 n·ε> 0.
当e在P中时，用U（e）= W（e）+ε创建一个新的权重函数U（），否则U（e）= W（e）。计算Q，U下的G的MST。如果成本（U，Q）＆lt;成本（U，P）则Q≠P。但是成本（W，Q）=通过构造δ和ε的成本（W，P）。因此，P和Q是W下的G的不同MST。如果Cost（U，Q）≥Cost（U，P）则Q = P并且W下的G的不同MST不存在。
上述方法确定是否存在至少两个不同的MST，在时间O（h（n，m））中，如果O（h（n，m））限定了找到M的GST的时间。
我不知道类似的方法是否可以治疗是否存在三个（或更多）不同的MST;它的简单扩展属于简单的反例。