Question

在接受采访时我被问到以下问题：

如何解决这个问题：（（3000000！）/（30！）^ 100000）％（任何素数）

我使用蛮力将C程序编码为相同，但我确信他并没有期待这一点。有关解决方案的任何建议吗？

Answer 1

3000000! = 1*2*3*4*5*..*8*...*16*...*24*...*32*...40*...*64*...*3000000

我们可以计算结果中 2 的数量吗？是的， 2 的每个幂为每个倍数贡献一个 2 。所以 n 的因子分解中 2 的总数！是n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + n/32 + ...，其中/是整数除法，并且术语在大于0时求和：

fnf n f = -- number of `f` factors in `n!`
  sum . takeWhile (>0) . tail . iterate (`div` f) $ n

（编写伪代码in Haskell）。当f*f < n时，将有多个条目进行总结。对于较大的f s，只有一个条目可以求和，即。 n `div` f。

因此n!的因子分解为

factfact n =    -- factorization of n! as [ (p,k) ... ] for n! = PROD p_i^k_i
  let
    (ps,qs) = span (\p-> p*p <= n) primes   -- (before, after)
  in
    [(f, fnf n f)   | f <- ps] ++
    [(f, n `div` f) | f <- takeWhile (<= n) qs]

现在， 30 的因子分解！有10个因素：

> factfact 30
[(2,26),(3,14),(5,7),(7,4),(11,2),(13,2),(17,1),(19,1),(23,1),(29,1)]

100000 它的每个因子系数都乘以 100000 。当我们采用 3000000 ！的因子分解时，它的总数为216816的前几个术语是：

> factfact 3000000 
[(2,2999990),(3,1499993),(5,749998),(7,499996),(11,299996),(13,249998),
 (17,187497),(19,166665),(23,136361),(29,107142),(31,99998), ...

所以在除法之后，当我们从第一个中减去第二个时，没有完全没有也没有完全取消：

[(2,399990),(3,99993),(5,49998),(7,99996),(11,99996),(13,49998),
 (17,87497),(19,66665),(23,36361),(29,7142),(31,99998), ...

因此，对于小于3000000的任何素数，余数为0.如果它更大，p > 3000000怎么办？然后，必须使用我们在上面找到的此分解的模幂运算 mod p 和乘法 mod p 。在SO上有很多关于这些的答案。

当然在生产代码中（对于非惰性编程语言）我们不会构建中间分解列表，而只是逐个处理3000000以下的每个素数（没有必要使用惰性语言））。

非常大的模数素数

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