每个使用分而治之的两个大小为n的数据库中的第n个最小数字

Question

我们有两个大小为n的数据库，其中包含没有重复的数字。所以，我们总共有2n个元素。可以通过一次查询到一个数据库来访问它们。查询是这样的，你给它一个k，它返回该数据库中的第k个最小的条目。我们需要在O（logn）查询中的所有2n个元素中找到第n个最小的条目。我的想法是使用分而治之，但我需要一些帮助来思考这个问题。谢谢！

Answer 1

我不久前在资格考试中看到了这个问题，它闻起来像是一个家庭作业问题。因此，我只提出两点建议：

• 研究二分搜索，仔细注意循环不变量的精确性质。 Jon Bentley的书 Programming Pearls 有一个很好的解释

• 尝试概括二元搜索的不变量。

• 使用各种特殊情况绘制图片：

  • DB1中的每个数字都小于DB2中的每个数字
  • 反之亦然
  • DB1等于DB2
  • DB2中的每个数字都是DB1
  中相应数字的两倍

这是一个相当难的问题;如果你直接找到正确的证据，你会有一个更轻松的时间。

Answer 2

提示：

• 观察您的“数据库”实际上是两个排序的数组。
• 从数组的“中间”取元素并进行比较。比较的结果可能允许您“排除”某些部分。

Answer 3

以下是我的想法。由于这是一个教育问题，我建议你停止阅读，如果有任何一点让你思考，“啊哈，我没有想到这一点，我可以自己进一步思考这些问题。”

1）与sdcwc相同的观察结果：对于它是从0还是1开始可能有轻微的狡辩，数据库可以被认为是一个有序数组。我要求元素0，我得到最小的。我要求12，我得到第13个最小的。等等。我发现这更容易想象。

2）我们知道我们正在寻找一种O（log n）算法。这意味着粗略地说我们正在寻找两件事之一：

• 要么我们从计算最小元素开始，然后计算第二个最小，第四个最小，第8个等，直到我们达到我们想要的大小，每个步骤在恒定时间内。这对我来说听起来不太有希望。

• 或者我们从大小为n的问题开始然后我们执行一些恒定时间操作，这允许我们通过解决大小为n / 2的问题来解决原始问题。显然我们可以在恒定时间内解决n = 1的问题，以完成算法。这听起来有点合理。

实际上每次不一定必须是n / 2。它可以是n / 3，或999 * n / 1000，结果仍然是O（log n）。但是首先寻找n / 2并没有坏处。

3）我们如何减少这样的问题？好吧，如果我们可以从一个数组的开头打折/删除m个元素，或者小于第k个最小的m元素，那么我们可以找到所得到的数组对中的（km）最小元素，它将是第k个最小的原始数组。

4）最后，突破性的观察结果是，如果数组A的第m个最小元素小于数组B的第m个最小元素，那么A的第m个元素不可能是两个中的第（2m）个最小元素。数组合。它小于（或相同的值：我不确定“没有重复”是否意味着“每个数据库中没有重复”，或“数据库之间没有重复”），因为最多只有2 *（m- 1）严格小于两个阵列组合的元素。

除非我犯了错误，否则剩下的就是编码。当k为奇数时，用一个小的额外参数来解释1的off-by，这个解决方案实际上是O（log k），它是O（log n），因为k <= 2 * n。