Question

我正在使用SciPy的integrate.odeint函数集成一个僵硬的ODE系统。由于集成非常重要且耗时，我也使用相应的雅可比。通过重新排列方程，我可以将雅可比定义为带状矩阵。在API documentation之后，我想用 mu 和 ml 参数定义形状。不幸的是，文档有点含糊不清，所以我无法弄清楚如何实现我的jacobian函数。

为了验证必须如何调用 odeint ，我一直在使用以下（有些愚蠢）代码：

from scipy.integrate import odeint
lmax = 5

def f1(y, t):
    ydot = np.zeros(lmax)
    for i in range(lmax):
        ydot[i] = y[i]**2-y[i]**3
    return ydot

def fulljac(y, t,):
    J = np.zeros((lmax, lmax))
    J[0,0]=-3*y[0]**2 + 2*y[0]
    J[1,1]=-3*y[1]**2 + 2*y[1]
    J[2,2]=-3*y[2]**2 + 2*y[2]
    J[3,3]=-3*y[3]**2 + 2*y[3]
    J[4,4]=-3*y[4]**2 + 2*y[4]
    return J

## initial conditions and output times
delta = 0.0001;
yini  = np.array([delta]*lmax)
times = np.linspace(0, 2/delta, 100)

y, infodict = odeint(f1, yini, times, Dfun=fulljac, full_output=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(infodict["nst"][-1],
                                                infodict["nfe"][-1],
                                                infodict["nje"][-1]))

使用完整的NxN jacobian矩阵，集成成功。仅使用对角线和 mu = 0 和 ml = 0 ，集成也会成功。

为了测试带状矩阵用例我正在使用 mu = 1 和 ml = 1 创建一个人工3xN带状jacobian，其中对角线以外的所有导数都是零。这会导致解算器的奇怪行为（类似于我在原始问题中看到的非对角线非零）。

def bandjac(y, t):
    J = np.zeros((lmax, 3))
    J[0,1]=-3*y[0]**2 + 2*y[0]
    J[1,1]=-3*y[1]**2 + 2*y[1]
    J[2,1]=-3*y[2]**2 + 2*y[2]
    J[3,1]=-3*y[3]**2 + 2*y[3]
    J[4,1]=-3*y[4]**2 + 2*y[4]
    return J

y, infodict = odeint(f1, yini, times, Dfun=bandjac, full_output=1, mu=1, ml=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(infodict["nst"][-1],
                                                infodict["nfe"][-1],
                                                infodict["nje"][-1]))

在SciPy的integrate.odeint中使用带状jacobian选项的正确方法是什么？

Answer 1

为了完整起见，我回答了我自己的问题。

正如Warren Weckesser所指出的那样，在Scipy上有一个bug＆lt; 0.14.0，关于odeint如何处理带状雅各比人。

odeint的当前文档声明：

Dfun应返回一个矩阵，其行包含非零带（从最低对角线开始）。

我认为这是不正确的。相反，它应该从最高对角线开始。

以下代码段显示 Dfun 应如何返回jacobian（源自test_integrate.py unit test）：

def func(y, t, c):
    return c.dot(y)

def jac(y, t, c):
    return c

def bjac_rows(y, t, c):
    return np.array([[   0,    75,       1,  0.2], # mu - upper 
                     [ -50,  -0.1,  -1e-04,  -40], # diagonal
                     [ 0.2,   0.1,    -0.2,   0]]) # lower - ml

c = array([[-50,    75,     0,   0],
            [0.2, -0.1,     1,   0],
            [0,    0.1, -1e-4,   0.2],
            [0,      0,   -0.2, -40]])

y0 = arange(4)

t = np.linspace(0, 50, 6)

# using the full jacobian
sol0, info0 = odeint(func, y0, t, args=(c,), full_output=True,Dfun=jac)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(info0["nst"][-1],
                                                info0["nfe"][-1],
                                                info0["nje"][-1]))

# using the row based banded jacobian
sol2, info2 = odeint(func, y0, t, args=(c,), full_output=True,Dfun=bjac_rows, ml=1, mu=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(info2["nst"][-1],
                                                info2["nfe"][-1],
                                                info2["nje"][-1]))

注意：转置的带状矩阵似乎不适用于 col_deriv = True

Answer 2

我创建了一个函数，可以按照odeint的预期将jacobian矩阵转换为带状格式，以及mu和ml参数。输入应为np.array。为了获得最佳性能，您可能希望将结果矩阵转换为np.array，然后让jacobian函数返回其转置，并使用col_der=True。我认为BrainGrylls是正确的，你应该从最高的对角线开始，与当前的API文档相反。

def make_banded_jacobian(matrix):
    '''returns a banded jacobian list (in odeint's format), along with mu and ml parameters'''

    # first find the values of mu and ml
    dims = matrix.shape[0]
    assert dims == matrix.shape[1]
    mu = 0
    ml = 0

    for row in xrange(dims):
        for col in xrange(dims):
            if matrix[row][col] != 0:
                if col > row:
                    dif = col - row
                    mu = max(mu, dif)
                else:
                    dif = row - col
                    ml = max(ml, dif)

    banded = []

    for yoffset in xrange(-mu, ml+1):
        row = []

        for diag in xrange(dims):
            x_index = diag
            y_index = diag + yoffset

            if y_index < 0 or y_index >= dims:
                row.append(0.0)
            else:
                row.append(matrix[y_index][x_index])

        banded.append(row)

    return (banded, mu, ml)

带有带状雅可比矩阵的Scipy odeint

2 个答案: