谐波系列的大theta符号

Question

我想证明谐波系列的大theta符号是theta（logn）。 我想用积分来表示。

我试图以这种方式表明：

**ln(n)=integral [1 to n] dx/x <= sum k=1 to n of 1/k <= 1 + integral [2 to n] dx/x = 1 + ln(n)**

以这种方式它不起作用，因为“1”我不能证明谐波系列的紧密反弹是theta（logn）。

我怎样才能证明这一点，并克服这个障碍？ 请帮忙。

谢谢你们。

Answer 1

获得界限的一个好方法是对总和中的每个术语应用估计值......上限估计值或较低估计值。例如：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8> = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1 / 8 + 1/8 + 1/8 + 1/8

然后，将（1/4 + 1/4）= 1/2和组（1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8）= 1/2分组并继续。你最终会获得1/2和＃34的总和。＆＃34;多少次？那么，log_2（n）多次 - 我会留给你找出原因。

您可以以类似的方式获得高估，或者更简单的方法是使用积分。请注意，对于[n，n + 1]范围内的x，1 /（x-1）> = 1 / n。

所以1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1 / n＆lt; = 1 +积分从2到n 1 /（x-1）dx（这将使日志出现）。