Question

ALGORITHM ForwardElimination（A [1..n，1..n]，b [1..n]） //将高斯消元应用于系统系数的矩阵A， //使用系统右侧值的向量b进行扩充 //输入：矩阵A [1..n，1..n]和列矢量b [1..n] //输出：用A代替A的等效上三角矩阵 //第（n + 1）st列中相应的右侧值对于i←1到n做A [i，n + 1]←b [i] //增加矩阵因为我←1到n - 1做对于j←i + 1到n做对于k←i到n + 1做 A [j，k]←A [j，k] - A [i，k] * A [j，i] / A [i，i]

关于这个伪代码有两个重要的观察结果。首先，它并不总是正确的：如果A [i，i] = 0，我们就不能除以它因此不能使用第i行作为第i次迭代的轴算法。在这种情况下，我们应该利用第一个基本操作并将第i行与其下方的一行交换在第i列中具有非零系数。（如果系统有独特的解决方案，这是系统的正常情况考虑，这样的行必须存在。）因为我们必须做好准备无论如何，对于行交换的可能性，我们可以照顾另一个潜在的困难：A [i，i]的可能性如此之小因此缩放因子A [j，i] / A [i，i]如此之大 A [j，k]的新值可能会因引起的舍入误差而失真通过减去两个不同大小的数量来减去避免这个问题，我们总能找到最大的一行第i列中系数的绝对值，与之交换第i行，然后使用新的A [i，i]作为第i次迭代枢。这种称为部分旋转的修改保证了比例因子的大小永远不会超过1。

我对上述文字的疑问是

作者的意思是＆＃34; A [i，i]如此小的可能性因此缩放因子A [j，i] / A [i，i]是如此之大＆＃34; ？请用这个简单的例子来解释。
在上述问题的扩展中，作者的意思是＆＃34; A [j，k]的新值可能会因为减去两个引起的舍入误差而失真大小不同的数量＆＃34;

Answer 1

所以，我认为这些评论仅在您想要编程时才有用。那里的主要问题是表示数字的方式。

让我们说A [i，i] reaaally 小，并且A [j，i] / A [i，i]大约是10 ^ 12。本身，这不是一个问题，但是当你想操纵这个数字时，你不会完全操纵10 ^ 12但是这个数字的近似值。大多数情况下，用于大数表示的范数是IEEE 754（如果您想深入研究）。

要记住的主要是这些不是确切的数字，这意味着10 ^ 12和10 ^ 12 -1具有相同的表示。（如果您愿意，可以试试there）

所以，如果我们的值很高，我们可能无法执行正确的操作，因为我们实际上并没有使用正确的数字。我试图制作一个小程序来说明你可以得到的这些差异：

int main()
{
   float bigOne = 100000000000000;
   float smallerOne = 99990000000000; 
   float expectedSubstraction = 10000000000;
   float divisionFactor = 1000000;
   cout << (bigOne-smallerOne)/divisionFactor << endl;
   cout<< "expected : " << expectedSubstraction/divisionFactor << endl;
   return 0;
}

Try it there

。现在这不是一个很大的区别，但经过几次迭代后它可能会失控...

所以，我们可以区分计算 A [i，k] * A [j，i] / A [i，i] 和< em>真实 A [i，k] * A [j，i] / A [i，i]

此外，如果 A [j，k] 相当小， A [i，k] * A [j，i] / A [i，i] 仍然很大，我们不会得到精确值，因为我们将对一个确切的数字和一个大数字的表示执行操作。这不一定是一个很大的差异，但如果错误在多次迭代中滚雪球，它可能导致绝对结果。

希望有所帮助！

Answer 2

要了解作者的意思，请考虑最简单的高斯消元示例，当我们只有两个线性方程时：

ax+by=c
dx+ey=f

我用字母c，f替换字母a，b，d，e和b [k]的A [i，j]，使公式更容易阅读。

为了消除第一个等式中的y，我们将第二个等式重写为

y=(f-dx)/e            /* (1) */

执行替换以计算x

x=(ce-bf)/(ae-bd)   /* (2) */

然后从y返回计算x。

现在考虑上面（1）中原始方程中的e非常小，例如10 ^-320时会发生什么。缩放系数（即，您乘以f-dx以获得y的数量）是1/e，或10 ³²⁰。乘以一个数字，在数字的浮点表示中溢出指数的大风险。这就是作者在你的问题的第一部分中引用的段落的意思。

对于你的问题的第二部分，考虑上面的公式（2）。当ce与bf相比非常小时（bf与ce相比非常小），减法的结果由于数字较大而占主导地位表示浮点数。基本上，当一个数字比另一个数字小几个数量级时，加法或减法的结果与更大的数字相同。作者想要提到的是，在使用高斯消元法计算解决方案的过程中很容易发生这种情况。

高斯消元法中的比例因子

2 个答案: