我的场景是一个包含整数的完美平衡二叉树。
我已经搜索过并找到了二叉树最佳/最差情况的许多解释。最好的情况是O(1)
(在根目录中找到目标),最差的是O(log(n))
(树的高度)。
我发现很少或没有关于计算平均复杂度的信息。我能找到的最佳答案是O(log(n)) - 1
,但我想我并不完全理解(如果正确)这个平均情况的计算方法。
此外,搜索不在树中的整数会产生相同的复杂性,我认为会这样,但任何煽动都会受到赞赏。
答案 0 :(得分:4)
假设我们有一个完美平衡的binaray树,其中包含n = 2k
个整数,因此深度为log₂(n) = k
。
正如您所说,最好和最坏的情况是O(1)
和O(log(n))
。
让我们从二叉树中选择一个随机整数X
(均匀分布)。树的最后一行包含与第一个k-1
行相同数量的整数。概率1/2
X
位于第k-1
行,因此我们最多需要O(k-1) = O(log(n)-1)
步才能找到它。并且概率1/2
X
位于最后一行,我们需要O(k) = O(log(n))
步。
我们总得到
E[X] ≤ P(row of X ≤ k-1)⋅O(log(n)-1) + P(row of X = k)⋅O(log(n)) = 1/2⋅O(log(n)-1) + 1/2⋅O(log(n)) = 1/2⋅O(log(n)-1) + 1/2⋅O(log(n)-1) = O(log(n)-1)
注意:这有点难看,但在O-notation中O(x)
和O(x±c)
对于任何常量值c
都是相同的。
现在让我们尝试计算树中随机(均匀分布)整数X
包含的平均情况,并在i
- th"行&#上命名整数集。 34;树Ti
。 Ti
包含2i
个元素。 T0
表示根。
在第i行中选择整数的概率为P(X ∈ Ti) = 2i/n = 2i-k
。
要在行i
上查找整数,需要O(2i) = O(i)
步。
所以预期的步骤数是
E[X] = Σi=0,...,k-1 O(i)⋅2i-k.
为了简化这一点,我们使用
O(i)⋅2i-k + O(i+1)⋅2i+1-k ≤ O(i)⋅2i+1-k + O(i+1)⋅2i+1-k ≤ O(i+1)⋅2i+2-k
这导致我们
E[X] = Σi=0,...,k-1 O(i)⋅2i-k ≤ O(k-1)⋅2⁰
自k = log(n)
以来,我们发现平均情况属于O(log(n)-1) = O(log(n))
。
如果值不在树中,则必须遍历整个树。在log(n)
步之后,你找到了一片叶子。如果该值等于您的输入值,则表示您已找到所用的值。如果没有,您知道,您搜索的值不在树中。因此,如果您搜索不在树中的值,则需要O(log(n))
。