求解一个简单的线性方程

Question

假设我需要解决以下等式，

ax + by = c

a，b和c是已知值和x，y是0到10之间的自然数（包含）。

除了微不足道的解决方案之外，

for (x = 0; x <= 10; x++)
    for (y = 0; y <= 10; y++)
         if (a * x + b * y == c)
             printf("%d %d", x, y);

...有没有办法有效地找到这个独立系统的所有解决方案？

Answer 1

在您的情况下，由于x和y仅采用0和10之间的值，因此强力算法可能是最佳选择，因为它需要较少的时间来实现。

但是，如果你必须在更大的范围内找到所有整数解(x, y)对，你真的应该使用正确的数学工具来解决这个问题。

您正在尝试求解线性丢番图方程，众所周知，当且仅当d和a的最大公约数b存在时，积分解存在划分c 。

如果解决方案不存在，那么你就完成了。否则，您应首先应用Extended Euclidean Algorithm找到等式ax + by = d的paritcular解决方案。

根据Bézout's identity，所有其他整体解决方案的形式如下：

其中k是任意整数。

但请注意，我们对ax + by = c的解决方案感兴趣，我们必须将所有(x, y)对缩放c / d。

Answer 2

通过直接检查for是否为整数，可以避免第二个(c-a*x)/b循环。

编辑：我的代码不像我希望的那么干净，因为我在评论中指出了一些粗心的疏忽，但它仍然比嵌套的for循环更快。

int by;
for (x = 0; x <= 10; x++) {
    by = c-a*x;                         // this is b*y

    if(b==0) {                          // check for special case of b==0
        if (by==0) {
            printf("%d and any value for y", x);
        }
    } else {                            // b!=0 case
        y  = by/b;                  
        if (by%b==0 && 0<=y && y<=10) { // is y an integer between 0 and 10?
            printf("%d %d", x, by/b);
        }
    }
}

Answer 3

你只能通过x循环，然后计算y。如果y是整数，并且在0和10之间，则（x，y）是解。

在C：

for (int x = 0; x <= 10; ++x) {
    double y = (double)(c - ax) / b;
    // If y is an integer, and it's between 0 and 10, then (x, y) is a solution
    BOOL isInteger = abs(floor(y) - y) < 0.001;
    if (isInteger && 0 <= y && y <= 10) {
        printf("%d %d", x, y);
    }
}