递归斐波那契算法的空间复杂度是多少？

Question

这是Cracking the Coding Interview（第5版）中Fibonacci序列的递归实现

int fibonacci(int i) {
       if(i == 0) return 0;
       if(i == 1) return 1;
       return fibonacci(i-1) + fibonaci(i-2);
}

在观看了该算法的时间复杂度Fibonacci Time Complexity的视频后，我现在明白为什么这个算法在O（2 ⁿ ）中运行。然而，我正在努力分析空间复杂性。

我在线查看并对此有疑问。

在这个Quora主题中，作者声明“在你的情况下，你有n个堆栈帧f（n），f（n-1），f（n-2），...，f（1）和O（1）“。你不会有2n堆栈帧吗？假设为f（n-2）一帧将用于实际呼叫f（n-2）但是不会有来自f（n-1）的呼叫f（n-2）？

Answer 1

这是一个提示。使用print语句修改代码，如下例所示：

int fibonacci(int i, int stack) {
    printf("Fib: %d, %d\n", i, stack);
    if (i == 0) return 0;
    if (i == 1) return 1;
    return fibonacci(i - 1, stack + 1) + fibonacci(i - 2, stack + 1);
}

现在在main中执行以下行：

Fibonacci(6,1);

打印出来的“堆叠”的最高值是多少。你会看到它是“6”。尝试“i”的其他值，您将看到打印的“堆栈”值永远不会超过传入的原始“i”值。

由于Fib（i-1）在Fib（i-2）之前被完全评估，因此递归的永久性不会超过i。

因此，O（N）。

Answer 2

如果其他人仍然感到困惑，请务必查看此Youtube视频，该视频讨论了生成Fibonacci序列的空间复杂性。 Fibonacci Space Complexity

演示者非常清楚为什么空间复杂度为O（n），递归树的高度为n。

Answer 3

正如我所看到的，该过程一次只会下降一次递归。 第一个（f（i-1））将创建N个堆栈帧，另一个（f（i-2））将创建N / 2。 所以最大的是N.另一个递归分支不会占用更多的空间。

所以我说空间复杂度是N.

事实上，在允许f（i-2）被忽略的情况下，只有一次递归被评估，因为它小于f（i-1）空间。

Answer 4

递归实现的时间复杂度近似为 2 平方 n (2^n)，这意味着该算法将必须经过大约 64 个计算步骤才能获得第 6 个斐波那契数。这是巨大的而不是最优的，程序需要大约 1073741824 个计算步骤才能得到 30 的斐波那契数，这是一个很小的数字，这是不可接受的。实际上，迭代方法绝对是更好和优化的方式。

知道了这个实现的时间复杂度后，可能会认为它的空间复杂度可能是一样的，其实不然。此实现的空间复杂度等于 O(n)，并且永远不会超过它。那么，让我们揭开“为什么”的神秘面纱。

这是因为递归执行的函数调用乍一看似乎是并发执行的，但实际上它们是顺序执行的。

顺序执行保证堆栈大小永远不会超过上面说明的调用树的深度。程序首先执行所有最左边的调用，然后转到右侧，当 F0 或 F1 调用返回时，它们对应的堆栈帧会被弹出。

在下图中，每个矩形代表一个函数调用，箭头代表程序到达递归结束的路径：

这里我们可以注意到，当程序到达调用 F4F3F2F1 并返回 1 时，它会回到其父调用 F4F3F2 执行右递归子调用 F4F3F2F0，当 F4F3F2F0 和 F4F3F2F1 调用都返回时，程序返回到 F4F3。所以栈永远不会超过最长路径F4F3F2F1的大小。

程序将遵循相同的执行模式，从父级到子级，执行左右调用后返回父级，直到到达所有 F4 的最后一个根父级，得出斐波那契数的和为 3。

>