Question

我应该通过归纳证明一个算法，并且它返回3 ⁿ - 2 ⁿ所有n> = 0.这是在埃菲尔写的算法

P(n:INTEGER):INTEGER;
  do
    if n <= 1 then
        Result := n
    else
        Result := 5*P(n-1) - 6*P(n-2)
    end
  end

我的理解是你分三步证明它。基础步骤，归纳假设和完整性证明。这就是我目前所拥有的。

基础：

P（0）返回0，3 ⁰ - 2 ⁰ = 0.

P（1）返回1，3 ¹ - 2 ¹ = 1。

归纳假设：

假设P（k）返回3 ^k - 2 ^k 0 <= k <1。 Ñ

完整性证明：

对于n，P（n）返回5（P（n-1）） - 6（P（n-2））

5（P（n-1）） - 6（P（n-2））

5（3 ^n-1 - 2 ^n-1） - 6（3 ^n-2 - 2 ^{n- 2}）＆lt; - 基于归纳假设

这是我陷入困境的部分。我该怎么把它减少到看起来像3 ⁿ - 2 ⁿ？

Answer 1

使用3 ^n-1 = 3.3 ^n-2和2 ^n-1 = 2.2 ^n-2的事实：

5（3 ^n-1 - 2 ^n-1） - 6（3 ^n-2 - 2 ^{n- 2}）

= 15（3 ^n-2） - 10（2 ^n-2） - 6（3 ^n-2）+ 6 （2 ^N-2）

= 9.3 ^n-2 - 4.2 ^n-2

= 3 ⁿ - 2 ⁿ

Answer 2

  5(3^(n-1)-2^(n-1))-6(3^(n-2)-2^(n-2)) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-6*3^(n-2)+6*2^(n-2) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-2*3^(n-1)+3*2^(n-1) =
  --------- ========= --------- =========
= 3*3^(n-1)-2*2^(n-1) = 
= 3^n - 2^n

通过归纳证明算法正确

2 个答案: