Question

我需要正式证明以下算法在n = 1时返回1，在其他情况下返回0。

function K( n: word): word;
begin
   if (n < 2) then K := n
   else K := K(n − 1) * K(n − 2);
end;

有人可以帮忙吗？谢谢

Answer 1

这可以通过归纳来证明，但正如之前的海报所示，在证明中直接引用K时，正式提出是正确的。

以下是我的建议：让 P （ n ）成为我们想要展示的属性：

P （ n ）持有iff K （ n ）为 n产生1 = 1，0 n ≠1。

现在我们可以清楚地表达我们想要展示的内容：Ɐ n 。 P （ n ）

基本情况： n ≤2

通过案例分析进行琐碎的检查：

P （0）没问题，因为 K （0）= 0
P （1）没问题，因为 K （1）= 1
归纳假设：

P （ n ）适用于所有2≤ n ＆lt; C
归纳步骤：显示 P （ c ）成立
1. 根据 K 的定义，我们有 K （ c ）= K （ c -1）× K （ c -2）
2. 通过归纳假设，我们知道 P （ c -1）和 P （ c - 2）持有。
3. 由于 K （ c -1）和 K （ c -2）中至多有一个可以为1（另一个必须为0），产品为0。
4. 这意味着 P （ c ）成立

QED。

Answer 2

对于n=1，通过调用算法，答案为K=n=1，因此我们已完成该案例。
对于n=0，根据定义，K(0) = 0。

对于n>1的情况，我们可以通过归纳来解决它：

基础：对于n=2，我们得到：K(2) = K(1)*K(0) = 1*0 = 0
对于n=3，我们得到：K(3) = K(2)*K(1) = 0*1 = 0请注意K(2)=0，因为我们只展示了一行。
声明：对于任何1<k<n，我们都会K(k) = 0
证明适用于任何n＆gt; 3：K(n) = K(n-1)*K(n-2) =(1) 0*0 = 0

（1）：归纳假设，并且因为K（n-1），K（n-2）都适用于它，因为n-1，n-2> 1

P.S。请注意，对于非负数，该声明适用，例如，如果您允许n=-5，则会获得K(-5)=-5 - 这是声明的反例。

Answer 3

说n = 0。自0 < 2起，我们得到0。

说n = 1。自1 < 2起，我们得到1。

说n = 2. K(2) = K(1)*K(0)。自K(0) = 0起，我们得到0。

对于n > 2，现在我们假设关于算法的陈述是真的，即K(n) = 0。现在让我们说明n + 1：

也是如此

K(n + 1) = K(n)*K(n - 1)。由于K(n) = 0显然K(n)*K(n - 1) = 0。

什么算法返回的形式证明

3 个答案: