Question

在SICP中，存在一个问题（练习1.15）

Exercise 1.15.  The sine of an angle (specified in radians) can be 
computed by making use of the approximation sin x x if x is 
sufficiently small, and the trigonometric identity

sin(r) = 3sin(r/3) - 4sin^3(r/3)

to reduce the size of the argument of sin. (For purposes of this 
exercise an angle is considered ``sufficiently small'' if its 
magnitude is not greater than 0.1 radians.) These ideas are incorporated 
in the following procedures:

(define (cube x) (* x x x))
(define (p x) (- (* 3 x) (* 4 (cube x))))
(define (sine angle)
  (if (not (> (abs angle) 0.1))
   angle
   (p (sine (/ angle 3.0)))))

a.  How many times is the procedure p applied when (sine 12.15) is evaluated?

b.  What is the order of growth in space and number of steps 
    (as a function of a) used by the process generated by the 
    sine procedure when (sine a) is evaluated?

您可以通过运行它来分析它，并看到它变为O(loga)，其中a是以弧度为单位的输入角度。

但是，这还不够。这应该通过递归关系来证明。我可以设置一个递归关系：

T（a）= 3T（a / 3）-4T（a / 3）^ 3

哪个是同质的：

3T（a / 3） - 4T（a / 3）^ 3 - T（a）= 0

但是，它是非线性的。我不确定如何得到这个特征方程，以便我可以解决它并向自己证明O(loga)不仅仅是直观真实的＃34;。互联网上没有教程似乎涵盖了这个分析，我唯一看到的结论是非线性重现几乎是不可能解决的。

有人可以帮忙吗？

谢谢！

Answer 1

您将计算与计算所需的时间混淆。

如果θ≤0.1，那么T（θ）为1.否则，它是T（θ/ 3）+ k，其中k是进行四次乘法，一次减法和一些乘法所需的时间杂项簿记。

很明显，i ^th递归的论证将是θ/ 3 ⁱ，因此递归将持续到θ/ 3 ⁱ≤0.1。由于不等式为真的i的最小值是⌈log₃（θ/ 0.1）⌉，我们可以看到T（θ）= k *⌈log₃（θ/ 0.1）⌉，即O（logθ）。（我省略了一个小的常数因子，它将最后一次递归与其他递归区分开来，因为它没有区别。）

创建并求解正弦近似的递归关系

1 个答案: