计算嵌套for循环的成本

Question

我试图根据n的函数来计算以下算法的成本。

for i:= 1 to n do
  for j:= i to n do
    k:=0

我理解内部for循环将迭代（n-1）+（n-2）+ ....（n-n）次，但是我不知道如何以更简单的形式在数学上表达它。我怎么能这样做？

Answer 1

(n-1) + (n-2) + .... (n-n)等于从0到N-1的所有整数之和。所以它等于N-1th triangular number，可以用公式

找到

Tn = n * (n+1) / 2

相当于（1/2）* n ^ 2 +（1/2）* n。

在计算Big O复杂度时，您丢弃常量乘数和除增长最快的组件之外的所有组件，因此执行(1/2)*n^2 + (1/2)*n步骤的算法在O（n ^ 2）时间内运行。

Answer 2

内环平均迭代（≈½n）次。 在“大O”符号中，您只关心最大的因素。 也就是说，例如，如果你有：

n³+ n + log（n）+ 1234

然后唯一重要的是n³因子，所以O（n³）。

所以在你的情况下：

½nxn =½n²

是O（n²），因为½并不重要。