最小化距离总和：优化问题

Question

实际问题是这样的：

麦当劳计划在一条直道上打开一些关节（比方说n）。这些接头需要仓库来存放食物。仓库可以存储任意数量的关节的食物，但必须仅位于其中一个关节。 McD拥有数量有限的仓库（比如k），并希望将它们放置在最小化距离最近仓库的平均距离的位置。

给定关节坐标的数组（n个元素）和整数'k'，返回一个'k'元素数组，给出仓库最佳定位的坐标。

对不起，我没有任何可用的例子，因为我是从记忆中写下来的。无论如何，一个样本可能是：

array = {1,3,4,5,7,7,8,10,11}（n = 9）
K = 1

答案：{7}

这就是我一直在想的：对于k = 1，我们可以简单地找出集合的中位数，这将给出仓库的最佳位置。然而，对于k> 1，给定集合应该被分成'k'子集（不相交，以及超集的连续元素），并且每个子集的中值将给出仓库位置。但是，我不明白应该在什么基础上形成'k'子集。提前谢谢。

编辑：这个问题也存在变化：取代sum / avg，最小化关节与其最近仓库之间的最大距离。我也没有得到这个......

Answer 1

这不是集群问题，而是设施位置问题的特例。您可以使用通用整数/线性编程包来解决它，但由于问题是在一条线上，可能会有更高效（并且更便宜的软件）算法。您可能会考虑动态编程，因为可能很快就会消除这些设施的组合。查看P-Median problem了解更多信息。

Answer 2

直线高速公路使这成为动态编程的练习，沿着高速公路从左到右工作。部分解决方案可以通过最右边仓库的位置和放置的仓库数量来描述。部分解决方案的成本将是到最近仓库的总距离（对于固定k，最小化这与最小化平均值相同）或到目前为止最近仓库的最大距离。

在每个阶段，您已经计算出最左边N个关节的答案，并根据使用的仓库数量和最右边仓库的位置编制索引 - 您只需要保存最佳成本。现在考虑下一个关节并找出N + 1关节的最佳解决方案以及k和最右边仓库的所有可能值，使用您为N个关节存储的答案来加快速度。一旦您找到了涵盖所有关节的最佳成本解决方案，您就知道最右边的仓库所在的位置，从而为您提供一个仓库的位置。回到那个仓库作为最右边的关节的解决方案，找出基于什么解决方案。这为您提供了一个最右边的仓库 - 因此您可以回到所有仓库的位置，以获得最佳解决方案。

我倾向于把这个错误的成本付出来，但是有N个接头和k个仓库，你需要N个步骤，每个基于考虑不超过Nk以前的解决方案，所以我认为成本是kN ^ 2