在某些K个不同的整数中找到多项式的值，模786433

Question

您将获得具有整数系数的度数 N 的多项式。你的任务是在一些 K 不同的整数中找到这个多项式的值，模数 786433 。

输入

输入的第一行包含一个整数 N ，表示多项式的次数。

每个测试用例的以下行包含表示多项式系数的 （N + 1） 整数。此行中的第i个数字表示多项式 a_0 + a_1×x_1 + a_2×x_2 +中的系数 a_（i-1） 。 。+ a_N×x_N 。

以下行包含一个整数 Q ，表示查询次数。

以下 Q 行的第j行包含表示查询的整数 x_j 。

输出

对于每个查询，输出包含相应查询答案的单行。换句话说，输出的第j行应该有一个等于 a_0 + a_1×x_j + a_2×x_j ^ 2 + ... + a_N×x_j ^ N modulo 786433 。

约束和子任务

• 0≤a_i，x_j＆lt; 786433
• 子任务＃1（37分）：0≤N，Q≤1000
• 子任务＃2（63分）：0≤N，Q≤2.5×10 ^ 5

示例

输入： 2 1 2 3 3 7 8 9

输出： 162 209 262

解释

示例案例1。

• 查询1：1 + 2×7 + 3×7×7 = 162
• 查询2：1 + 2×8 + 3×8×8 = 209
• 查询3：1 + 2×9 + 3×9×9 = 262

这是在O（n log n）时间内运行的代码。我使用快速傅立叶变换来乘以两个多项式。

为什么我需要使用modulo 786433运算符进行所有计算？我明白这可能与int溢出有关？在竞争性编程问题中这是正常的吗？

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <iostream>

using namespace std;

#define all(a) (a).begin(),(a).end()
#define pb push_back
#define sz(a) ((int)(a).size())
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second

typedef pair<int, int> pint;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;

#define MOD 786433
#define MAGIC (3*(1<<18))

const int root = 10;

void fft(vi &a, int wn = root)
{
    int n = sz(a);
    if (n == 3)
    {
    int a1 = a[0] + a[1] + a[2];
        int a2 = (a[0] + a[1] * 1LL * root + a[2] * (root * 1LL * root)) % MOD;
        a[1] = a1;
        a[2] = a2;
        return;
    }

    vi a0(n / 2), a1(n / 2);
    for (int i = 0, j = 0; i<n; i += 2, ++j)
    {
        a0[j] = a[i];
        a1[j] = a[i + 1];
    }
    int wnp = (wn * 1LL * wn) % MOD;
    fft(a0, wnp);
    fft(a1, wnp);

    int w = 1;
    for (int i = 0; i<n / 2; ++i) {
        int twiddle = (w * 1LL * a1[i]) % MOD;
        a[i] = (a0[i] + twiddle) % MOD;
        a[i + n / 2] = (a0[i] - twiddle + MOD) % MOD;
        w = (w * 1LL * wn) % MOD;
    }
}    

int n;
vi coef;

void poly(stringstream& ss)
{
    ss >> n;
    n++;
    for (int i = 0; i<n; i++)
    {
        int x;
        ss >> x;
        coef.pb(x);
    }
    while (sz(coef)<MAGIC)
        coef.pb(0);

    vi ntt = coef;
    fft(ntt);

    vector<pint> sm;
    sm.pb(mp(0, coef[0]));
    int pr = 1;
    for (int i = 0; i<sz(ntt); i++)
    {
        sm.pb(mp(pr, ntt[i]));
        pr = (pr * 1LL * root) % MOD;
    }
    sort(all(sm));

    int q;
    ss >> q;
    while (q--)
    {
        int x;
        ss >> x;
        int lo = 0, hi = sz(sm) - 1;
        while (lo<hi)
        {
            int m = (lo + hi) / 2;
            if (sm[m].fi<x)
            lo = m + 1;
            else
            hi = m;
        }
        printf("%d\n", sm[lo].se);
    }
}


void test1()
{
    stringstream ss;
    {
        int degree = 2;
        ss << degree << "\n";
        string coefficients{ "1 2 3" };
        ss << coefficients << "\n";
        int NoQueries = 3;
        ss << NoQueries << "\n";
        int query = 7;
        ss << query << "\n";
        query = 8;
        ss << query << "\n";
        query = 9;
        ss << query << "\n";
    }
    poly(ss);
}

int main()
{
    test1();
    return 0;
}

BTW。：question来自2016年7月挑战@ code chef

Answer 1

RE

  

“为什么我需要使用modulo 786433运算符进行所有计算？我明白这可能与int溢出有关？在竞争性编程问题中这是正常的吗？

是的，这是为了避免溢出。

是的，在编程问题集和竞赛中它是正常的。