Question

内循环执行时，外循环执行n次？所以总时间是n *。

我是否需要学习总结，如果是，那么任何书籍都可以参考？

for(int i=1;i<=n;i++) 
  for(int j=1;j<=n;j+=i)
    printf("*");

Answer 1

这个问题可以通过检查来解决：

n = 16

i  |  j values         | # terms
1  |  1, 2, ..., 16    | n
2  |  1, 3, 5, ..., 16 | n / 2
.. |  ..               | n / 3
16 |  16               | n / n

在上表中，i是外循环值，j values显示内循环的迭代。通过检查，我们可以看到循环将采取n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)步骤。这是一个有界谐波系列。正如this Math Stack Exchange article所示，就n而言，上述表达式没有封闭形式。但是，正如this SO article所示，有O(n*ln(n))的上限。

因此，两个循环的运行时间为O(n*ln(n))。

Answer 2

我认为时间复杂度为O(n*log(n))。原因如下：

让我们选择一些任意自然数i，看看内循环对于给定i有多少步。好吧，对于这个我，你将从j = 1到j＆lt; = n，其间跳跃为i。所以基本上你在做这个总结的步骤很多：

summation =  1 + (1+i) + (1+2i) + ... (1+ki)

其中k是最大整数，使得1 + ki <= n。也就是说，k是步数，这就是我们想要解决的问题。那么我们可以在平等中求解k，从而产生k <= (n-1)/i，从而k = ⌊(n-1)/i⌋。也就是说，k是(n-1)/i的floor函数/整数除法。由于我们处理的是时间复杂性，因此这个楼层函数并不重要，所以为简单起见我们只会说k = n/i。这是内循环对给定i所采取的步数。所以我们基本上需要将所有这些添加到i = 1到i＆lt; = n。

所以numsteps将是这样的补充：

numsteps = n/1 + n/2 + n/3 + ... n/n
         = n(1 + 1/2 + 1/3 + ... 1+n)

所以我们需要找到1 + 1/2 + ... 1 / n的总和来完成这个。这笔钱实际上并没有很好的封闭形式，但大约是ln(n)。您可以阅读有关此here的更多信息。你也可以从integral from 1 to n of 1/x is ln(n)开始猜测这个。同样，由于我们处理时间复杂性，我们可以使用ln（n）来表示其复杂性。因此我们有：

numsteps = n(ln(n))

所以时间复杂度为O(n*log(n))。

编辑：我的不好，我正在计算总和：P

循环的时间复杂度

2 个答案: