为什么数字（不）代表双精度IEEE754？

Question

我对 IEEE754 双精度感到困惑，我考虑两个问题：
的 1 为什么每个数字来自区间-2 ⁵⁴ ，-2 ⁵⁴ +2，-2 ⁵⁴ +4 ... 2 ^{54 < / sup>可以表示吗？}

2. 为什么2 ⁵⁴ +2无法代表？

你能帮帮我吗？我理解 IEEE754 的工作方式 - 但是，我遇到了看到的问题。

Answer 1

IEEE 754 double的有效数字（或尾数）中有53位。 -2 ⁵⁴ 可以精确表示，如

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00 (bin)
exponent: 54
sign:     1

现在让我们暂时忘记这个标志位。这与此解释无关。所以假设我们有+2 ⁵⁴ 。

使用此指数，有效数 的 最低 - 最右边的位的值为2 ^-52 * 2 ⁵⁴ = 4.所以2 ⁵⁴ + 4编码为：

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01 (bin)
exponent: 54                                                             ^
                                                                lowest bit

但中间没有任何价值。所以你不能编码2 ⁵⁴ + 2 。

为什么这不是 -2 ⁵⁴ + 2 的问题？因为这与 - （2 ⁵⁴ - 2）相同，并且表示为：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11
exponent: 53 !!
sign:     1

指数53表示你有2个 ^-52 * 2 ⁵³ = 2的步骤。然后是0的下一个值：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 10
exponent: 53
sign:     1

是-2 ⁵⁴ + 4，或实际上 - （2 ⁵⁴ -4）。你可以继续这样，直到达到-2 ⁵³ 。