所有单精度数字都可以用双精度格式表示吗？

Question

给定IEEE-754单精度格式（在某些语言/平台中通常称为float）中表示的任意数字，我可以确定该数字也可以用双精度格式精确表示？

如果是这样，当考虑半精度到单精度和双精度到四倍精度时，该属性是否有效？

Answer 1

是的，double可以表示浮点数可以包含的任何数字。同样适用于四精度等等。

浮点数以1.01b x 2^-1（在这种情况下为0.625）的形式表示。数字的重要组成部分是有效数字，它基本上是一个二进制数，通常在第一个数字后面加上小数点和指数。

二进制浮点格式之间唯一的主要区别是每个组件的位数。数字使用的位越多，每个部分可用的位数就越多。因此，对于有效数字，32位“float”可能具有1.01000000000000000000000，而（64位）“double”在该点之后将具有大约50位数。这意味着在float中可以精确表示的任何数字也可以在double中精确表示，因为您具有更高的精度（读取：更高有效数字）和增加的范围。它类似于64位整数变量如何保存任何32位整数;额外的比特几乎没有用完。

当然，任何由于舍入错误而被切断的位都不会使它在转换为double时返回到数字 - 意味着你的浮点数为0.3，这是一个不精确的结果，如0.2999999875或某些东西（我不喜欢计算），当你把它转换成双倍时，它不会接近0.3 - 它仍然会是0.2999999875。如果你想要更近似，你需要从头开始用双精度重做计算。

Answer 2

是。事实上，你可以做出更强有力的陈述：两个单精度数字的每个产品都可以精确地表示为双精度（同上半数，单数或双数和四数）。