Dijkstra的单源Shourtest路径，额外的边缘，重量为＆＃39; w＆＃39;

Question

在最近的一次采访中，我被要求实施单源最短路径算法（对于无向和正加权图），略微修改，即我们给予额外的权重＆＃39; w。＆＃39;。我们必须找到一个比SSSP算法计算的路径更短的路径，通过在两个尚未连接的节点之间连接额外的边缘，重量为“w”。 Here's an image. As according to SSSP the shortest path between A(source) & D(destination)is A-B-C-D i.e. total of 8.

但考虑到额外的优势。它可以连接在尚未连接的A和D之间，以最小化通过SSSP算法产生的最短路径。 Image of graph with extra edge contributing the shortest path

我试着考虑解决方案。但到目前为止没有任何进展。我已经实现了Dijkstra算法来找到最短路径。但这个小修改让我感到困惑。那么你可以帮一下吗？

Answer 1

有两种选择：

1. 我们不需要额外的优势。这种情况由标准的Dijkstra算法处理。

2. 带有额外边缘的最短路径如下所示：shortest_path(start, V) + (V, U) + shortest_path(U, target)。也就是说，我们从原始图中的最短路径开始到某个顶点V，然后我们通过添加这个额外边（{{1}来转到U（再次，一个任意顶点） }}和V不能连接），而不是我们通过原始图表中的最短路径从U转到目标节点。

3. 我们可以使用路径的结构来获得U解决方案：我们可以计算从起始节点到所有其他路径的最短路径（Dijkstra算法的一次运行）和从目标节点到所有其他节点的所有最短路径（再运行一次）。现在我们可以迭代所有可能的对O(n ^ 2)并选择最好的对。

4. 奖励：我们可以在(V, U)中为稀疏图解决它。这个想法如下：我们可以找到O(m log n)，而不是检查所有(U, V)对，它在U中未与V连接的所有顶点中与目标的距离最小{1}}（或甚至线性）时间（此问题称为查找不在集合中的最小元素）。

Answer 2

我不确定我是否理解你的问题。你有一个加权图，可以用w添加边，添加到最短路径的位置。 我想我们可以使用spfa + dp来解决这个问题。将所有其他边设置为w并创建布尔矩阵m，m [i，j] = 1意味着当我们到达u而不使用额外边缘时，i，j，dp [u，0]之间没有边缘意味着最短距离，dp [u ，1]意味着使用额外的边缘。我不写dp传递方程。所以我们可以在spfa中迭代，我们也可以回溯dp的最佳方式并获得设置额外优势的位置。

我们不在上述解决方案中使用Dijkstra算法。

spfa也是单源Shourtest路径算法，它可以处理负加权边缘，但不是负循环。

这只是我的想法，我没有尝试过。但我认为这是一个解决它的想法。 如果有任何错误，请告诉我。