Question

我有一个非常大的正整数（百万位）。我需要用尽可能小的函数来表示它，这个数字是可变的，这意味着，我需要一个生成最小函数的算法来获得给定的数字。

示例：对于数字29512665430652752148753480226197736314359272517043832886063884637676943433478020332709411004889，算法必须返回“9 ^ 99”。它必须能够分析数字并始终返回表示数字的数学函数。示例编号21847450052839212624230656502990235142567050104912751880812823948662932355202必须返回“9 ^ 5 ^ 16 + 1”。

Answer 1

听说Kolmogorov complexity？

回答你的问题：除非你限制自己使用一些特定的功能，否则这是不可能的。

编辑：即使在您的示例中，您如何知道21 847 450 052 839 212 624 230 656 502 990 235的最短表示142 567 050 104 912 751 880 812 823 948 662 932 355 202实际上是9 ^ 5 ^ 16 + 1？即使在特定案例中，证明也不是很难吗？

如果您将自己局限于某些功能集，则可以使用以下算法：

For i = 1 to n
  enumerate all strings s of length i
    if s represents a valid expression according to rules chosen a priori, 
      and evaluates to the number in the input,
        return s

保证停止，因为在外循环的最后一次迭代（i = n）中，你最终会得到一个包含输入的字符串。

当然，这不是很有效率。特别是O（b ⁿ）其中n是输入的长度，b是字母表的大小。

Answer 2

扩展@ ybungalobill的简洁回答，你的函数等价于计算任意字符串的Kolmogorov复杂度的函数。（如果将非常大的数字的每个数字视为字符，将数字视为字符序列，则等效性很明显。）

根据关于Kolmogorov复杂性的维基百科页面，给出字符串K(s)复杂性的s函数是not a computable function。（该页面包含证明。）

换句话说，您想要的算法根本不存在。

Answer 3

@BlueRaja - Danny Pflughoeft：是的，确实如此。我正在尝试创建一些使用此算法的压缩，但顺便说一下这是不可能的。

这是因为在技术上不可能压缩任意数据，出于同样的原因，但这并不能阻止我们这样做：）

然而，还有更好的压缩数据的方法。例如，看一下LZ。它无处不在，你几乎可以找到一个库来为你做压缩，无论你写的是什么语言。DEFLATE是另一种流行的语言。

希望有所帮助！

Answer 4

如果你不是在寻找最佳性，只是一个相当不错的工作，那么你可以使用一些启发式方法。例如，尝试使用以下所有

分解n

n = a^k + b

代表k = 2, 3, ..., log n，并选择具有最小a + b的那个。您可以使用a和b计算a = floor(n^(1/k))和b = n-a^k。然后递归a和b。

当然，这只使用取幂和加法来找到一个好的压缩。如果您也允许减法，请改用a=round(n^(1/k))，让b为负数。

允许乘法也会让它变得更加困难，因为你可能需要考虑因素n。

给定一个整数，找到给出它的最小函数

4 个答案: