Question

我对运行时的递归模式有疑问。

示例1

int f(int n) {
  if(n <= 1) {
    return 1;
  }

  return f(n - 1) + f(n - 1);
}

我可以理解上面代码的运行时间是O（2 ^ N），因为如果我传递5，它会调用4两次，然后每次调用3次，然后跟踪直到达到1，即类似O（分支^深度）。

示例2 平衡二进制树

int sum(Node node) {
  if(node == null) {
    return 0;
  }

  return sum(node.left) + node.value + sum(node.right);
}

我读到上面代码的运行时是O（2 ^ log N），因为它是平衡的但我仍然把它看作O（2 ^ N）。谁能解释一下呢？

当元素数量每次减半时，运行时间为log N.但二叉树如何在这里工作？
它是2 ^ log N只是因为它是平衡的吗？
如果不平衡怎么办？

修改我们可以求解O（2 ^ log N）= O（N）但我看到它是O（2 ^ N）。

谢谢！

Answer 1

二叉树的复杂性O(n)与此处的任何其他树一样，因为您最终遍历树的所有元素。通过减半，除了分别计算相应孩子的总和之外，我们没有做任何特殊的事情。
这个术语是这样的，因为如果它是平衡的，那么2^(log_2(n))是树中元素的数量（叶子+非叶子）。（log2(n)级别）
如果它不平衡，那也无关紧要。我们正在进行一项操作，需要考虑每个元素使运行时为O(n)。

哪里可能有重要意义？如果它正在搜索一个元素，那么它将是重要的（无论它是否平衡）。

Answer 2

我会捅这个。

在平衡二叉树中，您应该在每个父节点的左侧和右侧有一半的子节点。树的第一层是根，有1个元素，然后是下一层中的2个元素，然后是下一个中的4个元素，然后是8，依此类推。因此，对于具有L层的树，树中有2^L - 1个节点。

反过来说，如果要插入树中有N个元素，最后会得到一个深度为L = log_2(N)的平衡二叉树，所以你只需要调用你的递归算法对于log_2(N)层。在每一层，您的算法调用次数都会增加一倍，因此在您的情况下，最终会有2^log_2(N)次调用和O(2^log_2(N))运行时间。请注意2^log_2(N) = N，所以它们都是相同的，但我们会在一秒钟内获得二叉树的优势。

如果树不平衡，最终深度大于log_2(N)，因此您有更多的递归调用。在极端情况下，当您的所有孩子都在父母的左侧（或右侧）时，您有N个递归调用，但每个调用都会立即从其中一个分支返回（一侧没有孩子）。因此，您将拥有O(N)运行时间，这与以前相同。每个节点都被访问过一次。

平衡树的优势在于搜索等情况。如果左手孩子总是小于父母，而右手孩子总是大于，那么你可以在n时间内在N个节点中搜索元素O(log_2(N)) （不是2^log_2(N)！）。但是，如果您的树严重失衡，则此搜索将成为所有值的线性遍历，您的搜索结果为O(N)。如果N非常大，或者您执行此搜索，那么这可能是易处理算法和难处理算法之间的差异。

递归模式的大O时间复杂度

2 个答案: