这个递归Fibonacci的大时间复杂度？

Question

我有一个使用递归打印斐波那契数列的程序。有更好的方法，但我被要求使用递归，所以我必须这样做。

以下是该计划：

#include <stdio.h>
#define TERMS 10

long fibo(int);

int main(void){
   for(int i = 1; i <= TERMS; i++) {
       printf("%ld", fibo(i));
   }
   return 0;
}

long fibo(int n){
    if (n < 3) {
        return 1;
    }
    else {
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
    }
}

我知道这对斐波那契系列来说真是一个糟糕的方法，从上面可以清楚地看出， TERMS 超过35，该程序需要花费大量时间才能完成。

我经历过this answer并无法理解他们是如何解决的，但看起来像是

  

fibo（int n）的时间复杂度为O（2 ^ n）

我可能也完全错了，但我想要的只是：

这个完整计划的时间复杂度是什么，请简要说明您的计算方法？

如果您有更好的方法使用递归计算Fibonacci，也欢迎。

Answer 1

  

c（fibo（n））= c（fibo（n - 1））+ c（fibo（n - 2））+ O（1）

请注意，复杂性遵循精确的公式作为序列，因为所有计算分支总是以值为1的叶结束，因此精确的（theta）复杂度可以通过Fibonacci序列本身的闭合公式精确计算

但这超出了您的问题的范围，我们需要注意的是

  

c（fibo（n））＆lt; 2 * c（fibo（n - 1））

我们现在需要的是解决由

定义的上限序列

  

an = 2 * an-1（a1,2 = 1）

结果

  

an = 2 ^ n

所以，你得到你想要的2 ^ n的上限O。

如果你多次运行，你会得到

  

sigma（c（fib（n）））从1到TERMS = O（2 ^（TERMS + 1） - 1）

这是一个简单的数学事实，意味着在你的情况下（TERMS = 10）你得到

  

2 ^ 11 - 1 = 2047

至于你提出的关于更好地以递归方式做这件事的问题......

int fib(int n, int val = 1, int prev = 0)
{
    if (n == 0) {
        return prev;
    }
    if (n == 1) {
        return val;
    }
    return fib(n - 1, val + prev, val);
}

这就是所谓的尾递归并且需要O（n）（实际上它可以通过一个好的编译器来优化，实现为一个循环，然后也会耗尽一个恒定的内存消耗）

Answer 2

总的来说，背后有数学，斐波那契在那里解释：https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

如果您不必证明它并且您只需要正确地写下来，您只需要考虑算法的行为方式以及某些数字的重复次数，然后您可以尝试将其概括为任何数字。输入n。

纸是你的朋友！

如果你的递归中你的斐波纳契值为“10”，你基本上就是说（10的finonacci是9 +斐波纳契的斐波那契8）

然后你说斐波那契9 - 它是斐波那契8 +斐波纳契7等。

您可以绘制图表：

我认为很明显它会继续几乎完整的二叉树。并且您可以看到，对于每个级别，节点数量加倍，因此对于fib(10)，它将重复10次，在底部几乎2^10，因此对于fib(n)，它将是2^n {1}}。

如何使它在递归的alghoritm中有效？那么你可以从图片中看到，即fib（7）被解决了三次。所以你必须在计算后记住fib（n）。它可以是全局变量，也可以通过递归调用传递对象的引用。

然后你不要只说“fib（n-1）和fib（n-2）”，你首先看“是否计算了fib（n-1）”？如果是这样，请使用计算出的值，而不是进行递归。

Answer 3

用于生成斐波那契数列的递归函数生成高度为 n 的二叉树。假设我们取 n = 5。然后，树形结构将如下所示：

在最底层，我们将得到大约2 ^ n 个节点。因此，时间复杂度将在 O（2 ^ n）左右，因为递归将对每个叶节点重复。

我们可以通过使用备忘录的动态编程方法来显着改善此问题，该备忘录基本上是将重复的子问题（例如示例中的fib(2)或fib(3)存储在某种查找表中）。这样可以将时间复杂度降低为 O（n）。