Question

我试图解决递归关系T（n）= 3T（n-1）+ n，我认为答案是O（n ^ 3）因为每个新节点在重现中产生三个子节点树。它是否正确？并且，就重现树而言，是否有更多的数学方法来处理它？</ p>

Answer 1

递归方程只是数学：展开，总结和简化。

T(n) = 3T(n-1) + n = 3 (3 T(n - 2) + (n-1)) + n 
     = 3^2 T(n - 3) + 3^2(n-2) + 3(n-1) + n) 
     = ...
     = 3^i T(n - i) + Σ_(j=0..i-1) 3^j * (n-j)
     = Σ_(j=0..n-1) 3^j * (n-j)          // assuming T(0) = 0

现在我们可以找到不同的上限，这取决于我们想要多少考虑它：

T(n) = Σ_(j=0..n-1) 3^j * (n-j)
     < n * Σ_(j=0..n-1) 3^j
     = n * (3^n - 1)

所以T(n) = O(n*3^n)。

通过将总和分成两部分，您也可以获得更严格的约束：

T(n) = Σ_(j=0..n-1) 3^j * (n-j)
     < n * Σ_(j=0..n-x) 3^j * (n-j)     +   x * Σ_(j=n-x..n-1) 3^j
     = n (3^(n-x+1) - 1)  + x * (3^n - 3^(n-x+1))

使用x = log_3(n)即可获得T(n) = O(3^n * log(n))。

您还可以使用积分逼近总和Σ(n-i)3^i，并获得确切的复杂度Θ(3^n)。

递归关系T（n）= 3T（n-1）+ n

1 个答案: