Question

以下是我脚本的内容：

from sympy import *
x = symbols('x')
init_printing(use_unicode=True)

f = symbols('f', cls=Function)
diffeq = Eq(x**2 * f(x).diff(x, x) + x * f(x).diff(x) - f(x) , 1/((1+x**2)**(3)) )
print dsolve(diffeq, f(x))

该程序返回以下输出：

Eq(f(x), (C1*x**2 + C1 + C2*x**4 + C2*x**2 - 15*x**4*atan(x) - 15*x**3 - 18*x**2*atan(x) - 13*x - 3*atan(x))/(16*x*(x**2 + 1)))

但是当我像这样定义变量diffeq时：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) + f(x).diff(x)/x - f(x)/x**(2) , 1 / ((1+x**2)**(3) * x**(2)) )

然后我收到输出：

Traceback (most recent call last):
  File "/home/foo/odeSympyTrial01.py", line 12, in <module>
print dsolve(diffeq, f(x))
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/sympy/solvers/ode.py", line 625, in dsolve
    x0=x0, n=n, **kwargs)
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/sympy/solvers/deutils.py", line 235, in _desolve
    raise NotImplementedError(dummy + "solve" + ": Cannot solve " + str(eq))
NotImplementedError: solve: Cannot solve Derivative(f(x), x, x) + Derivative(f(x), x)/x - f(x)/x**2 - 1/(x**2*(x**2 + 1)**3)

当我像这样定义变量diffeq时：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) * x**(2) + f(x).diff(x) * x**(2) /x - f(x) * x**(2) /x**(2) , 1* x**(2)/((1+x**2)**(3) * x**(2)) )

然后我收到输出：

Eq(f(x), (C1*x**2 + C1 + C2*x**4 + C2*x**2 - 15*x**4*atan(x) - 15*x**3 - 18*x**2*atan(x) - 13*x - 3*atan(x))/(16*x*(x**2 + 1)))

在每种情况下，微分方程diffeq在数学上是相等的。因此，在我看来dsolve()应该为每个案例返回相同的输出。有人请帮助我理解为什么dsolve()在第二种情况下返回错误。如何表达非齐次线性常微分方程以确保dsolve()不会返回错误？

Answer 1

简短说明：SymPy ODE模块的逻辑通常是天真的，有时是不正确的。

最初写的是

x**2 * f(x).diff(x, x) + x * f(x).diff(x) - f(x)

这匹配Cauchy–Euler equation的形式（也称为欧拉方程）：每个系数中x的幂是导数的阶数。 SymPy检测到此结构并应用适当的方法。但如果你除以x**2，

f(x).diff(x, x) + f(x).diff(x)/x - f(x)/x**(2)

不再是这种情况：二阶导数不具有x**2的幂，因此匹配失败。更仔细的检查可以在这里检测潜在的Cauchy-Euler结构，但是没有实现，正如人们可以通过查看source看到的那样。

您可以检查这确实是

发生了什么

classify_ode(diffeq, f(x))

将返回＆＃39; nth_linear_euler_eq_nonhomogeneous_variation_of_parameters＆＃39;在第一种情况下，但不是第二种情况。

在查看源代码时，人们也可以看到错误逻辑的一个例子。

        if coeff.is_Mul:
            if coeff.has(f(x)):
                return False
            return x**order in coeff.args

例如，x**2*sin(x)将通过order = 2传递此检查，这意味着SymPy会将x**2*sin(x)*f(x).diff(x, x) - f(x) = 0误认为是Euler公式。事实上，

dsolve(x**2*sin(x)*f(x).diff(x, x) - f(x), f(x))

＆＃34;求解＆＃34;方程式错误。不要相信SymPy的ODE解决方案。

SymPy dsolve返回数学等效微分方程的不同结果

1 个答案: